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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 V8+I|aJh  
ueO:@  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. qA6[0+!N   
Ot`i]H  
　　1、三角函数本质： _)k+6  
Dj,8FV6clq  
　　三角函数的本质来源于定义 2J[m p=s  
n ieNT~  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 AW1/9/)  
6 xA-" "p  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 MAnG>NHq  
M|t~0t ,O  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 7 hY$k  
Z'X#{qF 3  
　　推导： uvRj!GrzI  
F|/^$@3M|0  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 bnVZ9\  
?].pD0*m  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) L}!):Le${  
g'wrA.  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) SM44h`y1si  
(xA4lz  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 "6Ac+  
8~=<OkZJ  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） d~||Z{9  
V~\7$ag  
　　[1] Vu W )  
d/9*hHyc>  
　　两角和公式 g]7GjTH=  
:G~r..L '  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB |:+[k6  
VYaW2Sc  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  m?}lSatR  
f]1\,  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB "#i6)e}  
}1Z>{W_!Mm  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB }LY1/;|  
T5J_w\NH  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) <Ol 0qxA  
Ty?"<!  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) H& i K8B  
\;99ZnP`  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Qi8sAz ,  
/d0uUrK  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 3%>BeMY,  
5%"wwMA5  
倍角公式 =m=jx{:  
-5;19u td  
　　Sin2A=2SinA•CosA y.:t_*C  
"4{<V lQ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 b6fO:]U  
qP)2EHzM^  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） .t1\9,pt(  
Y;bO:  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 4P`lzeM  
<zHd:O),  
三倍角公式 kAH&s~  
L[;Lw"8  
　　 590  k*  
E70-dc\@2_  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) P2q5O|n.  
Tkw'0 |%  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) aiXMMFmY  
^u`7{tc8  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 8Vh6T &q"c  
C(M)S}|QR  
三倍角公式推导 WTr8>y"  
e)U/q=~  
　　sin3a :EuCPV;I   
Q jE~E&  
　　=sin(2a+a) 4{Mw<  
> 9el  
　　=sin2acosa+cos2asina *.87Jt!  
;2='   
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina w:a'/?-  
rwGDTUcA  
　　=3sina-4sin³a Icz69&+d  
[o_O8+V[yn  
　　cos3a $ /CLP  
INX7cF  
　　=cos(2a+a) Rv .80B  
uM_ &A u  
　　=cos2acosa-sin2asina q8`f^5  
$=JI7X 9\  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 8L ;K7#qq  
 !WB%( A  
　　=4cos³a-3cosa A7FuvO  
et>V-&MODM  
　　sin3a=3sina-4sin³a mV~}QP5Q  
.!oyJ |  
　　=4sina(3/4-sin²a) E<&[4?*1  
V*0e"v  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] l=\n_S 5tO  
-R rmBE%  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) O`XaJTB  
+NmSRR2  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) d9;=7UT7'  
~lUuG 8  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] b( 3`@Er  
Y*_Xob-^Q  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) dNF6y<;  
)) EEhr~`l  
　　cos3a=4cos³a-3cosa !FD)|F,wO  
58#ved)p4)  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ;or,+p*x<  
7ZX~&*'zl  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] `ti>yu u  
Ket<=XXD  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) &hLtp}!  
4q *(P!38  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) BE5wsV$_  
Fj6E! 2  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} "sF~rDJ/"_  
/_'"7V ?  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 31O'P&p  
Q<(Ht^B)9  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ~.e!-#l  
:Qh=J'o  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] i86|xg( n  
!ASS}?<  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Bb*?wzZ  
@c5p"&^  
　　上述两式相比可得 +'*AujCb  
!q#Hznx  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) [3Ii^y:  
h!88/yv :  
半角公式 b";)]$  
(+]~d  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); # "Wlq<#  
$<R]6Q]  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. <a rKU  
Jihx]WEj3  
和差化积 k4qaf+  
vm_@ty  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <o:EOno}0B  
h8gIF!|@H  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] %r x"HBp,O  
~'=_i@Jk  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] C(;d0#%  
5pFcJ(WpBg  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ]dn.%7  
Qc%PF.q'  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) oiFu k"E  
KKxCm(Fwb[  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) S-o]Z#:Es  
.fS=t"2  
积化和差 ^o5A[ I  
)W2 8BUW0  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] UF\ <iWb  
rw%L0 u  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 0O}d.|/B@  
hMD( *T&  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] y_?AUV~*  
9iP5xSb  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] a fKxA~I  
:X;Q#O.  
诱导公式 d^HN9&+ Z  
/= =YC _B+  
　　sin(-α) = -sinα ?6HJ:d  
k6,AQ/  
　　cos(-α) = cosα MFGj_ _Y4  
uZVI:_h?D  
　　sin(π/2-α) = cosα R6-Fh `  
'ZH'bPeVX  
　　cos(π/2-α) = sinα 8z"idH|  
tF:?D|4j  
　　sin(π/2+α) = cosα 5-+oP|Rpz;  
mau]n_p0}  
　　cos(π/2+α) = -sinα Afjza d*  
JRr:7TZ +  
　　sin(π-α) = sinα d0y;i0O  
lrV>0HT  
　　cos(π-α) = -cosα t&?}n2t  
g OlX  
　　sin(π+α) = -sinα t&8l*<'  
u@- ZMNN  
　　cos(π+α) = -cosα 5#U{Gw<\+!  
R0Y+wNI  
　　tanA= sinA/cosA W"G[^( S  
jd x6(9ib8  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα lXv9:E9M  
{o56d  
　　tan（π/2－α）＝cotα 4.s#w}V  
\'--HSw;j  
　　tan（π－α）＝－tanα ~ -y3vi  
%pt WC  
　　tan（π＋α）＝tanα %3|N/[  
)CCKEQ  
万能公式 p=hlWy]  
PO]-~/zaa9  
　　 0a5LY:   
:'yx.VB  
其它公式 dlV{*gR&6  
6T4Mj ,n  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 dcp48%_o  
d 4Boo.>  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 !4)AbINTC  
bx**v<D.o  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 f!5~]1cr  
\> @yC^j<  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 >*W3.Fb.:  
g.E\-s  
　　对于任意非直角三角形,总有 l5/9eUzV_  
&D-0lRIS  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $p k"0Q  
gQ-u6Ub=  
　　证: N f"l:fg  
HL0[NK  
　　A+B=π-C Ko>UL6*5  
E#wF_,EFX  
　　tan(A+B)=tan(π-C) }9&gNPh  
JGYO~d@B1  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ;;e|Z^g  
h B~jzja  
　　整理可得 w=E>S<\r$  
[6recI`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eZ t6 u  
rhp Ol 0}  
　　得证 ;gNR<Jno  
0-L$6h 'n  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Y,>o{=;v  
W*w~<  
其他非重点三角函数 'wC*pn b  
|Yv@] ^  
　　csc(a) = 1/sin(a) g.<<QRlT  
++Esvw]?(  
　　sec(a) = 1/cos(a) W@5u' <^  
)mUKSb  
　　 &AO!T1.S  
Y,khJ o  
双曲函数 ]ale8i[  
p-hn)#\2$  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 q?xV>  
> *=|!X:6  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 C.6:JM03O  
4hn05`+*J  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) nh[.L&i(Y  
Lwta8:]  
　　公式一： qS5SNG'  
ew J@  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： EqE x}?Z'  
_3[ )B  
　　sin（2kπ＋α）= sinα H['[N"&[  
#w0{dQ8N  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 5?/`.f}8  
HcEQlC(w  
　　tan（kπ＋α）= tanα $^ G,fM  
 P!-C{  
　　cot（kπ＋α）= cotα u2WpX-c  
GW b U K  
　　公式二： 4wH?dU s  
1Qz$%7rz_]  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： b}F*XT*+  
A7jXtO  
　　sin（π＋α）= -sinα u FHI UIS!  
cZ&^xmz9  
　　cos（π＋α）= -cosα ~ -p*x  
PE<[1(W>?  
　　tan（π＋α）= tanα @#"=tB XA  
<vw4 >r)  
　　cot（π＋α）= cotα - Q< X^  
2=I~J2V_m[  
　　公式三： Sr$# ds,[  
|~-{j\C  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： v2FsH:j  
;nh]=*+D  
　　sin（-α）= -sinα J9LNz)n1  
5+|OA  
　　cos（-α）= cosα >Y]']j\  
2ak'i9zkI  
　　tan（-α）= -tanα 0HZXTuS/=  
\u<0XdP  
　　cot（-α）= -cotα i%T#3J  
XVpuE, Z  
　　公式四： rBB}:~_p3  
BI]N_p "?  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： @y!?P_@Ge  
R{N0#S)(D  
　　sin（π-α）= sinα xMrO>~dF7  
a 0yu(U  
　　cos（π-α）= -cosα [V_145 F  
Ndi9*  
　　tan（π-α）= -tanα am] 6l  
;*%D5  
　　cot（π-α）= -cotα :V`.+,K!  
9Ohd* ?Y  
　　公式五： "vZ)+ Fd]>  
}B+eF>f  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ?<OU].q  
|"UEEt^|<  
　　sin（2π-α）= -sinα Ny !<!J  
<N'xGQ ,  
　　cos（2π-α）= cosα D:GkLci@q  
iF)'LlGyE  
　　tan（2π-α）= -tanα ^<U_f Xm*  
e>c*bP8`  
　　cot（2π-α）= -cotα n/4m*a:r  
X`3AR8uOAj  
　　公式六： )z5=:Rl  
wfNB)O=~l  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Vj>j]ijn  
XT9q' d{q:  
　　sin（π/2+α）= cosα 2Rj] DLzP  
ZNHl*D  
　　cos（π/2+α）= -sinα b nvsh  
g3\HIlD  
　　tan（π/2+α）= -cotα |R 8DyQ|  
k8D+s_9f  
　　cot（π/2+α）= -tanα ${b#^  
7op G@pw  
　　sin（π/2-α）= cosα `Wa[+-]=  
=q?W^4J?  
　　cos（π/2-α）= sinα .qQ k$h  
%^`DBEWS  
　　tan（π/2-α）= cotα (;#IyGA7\  
lrk`:a_  
　　cot（π/2-α）= tanα GRUa{t~dB  
`;<GusYd  
　　sin（3π/2+α）= -cosα m{z/^\c/  
r? Z>  
　　cos（3π/2+α）= sinα ,Gn+Q^v  
bRwE&0  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ( e^w20\  
NBI="vn/&  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ~Eq1OZY'  
k"8L4yz  
　　sin（3π/2-α）= -cosα q8!d!3V  
J V#^[q  
　　cos（3π/2-α）= -sinα E&J/  
?5PpI7)q\  
　　tan（3π/2-α）= cotα eCQX:7KU  
]-[_  
　　cot（3π/2-α）= tanα '`S$n+  
]O1^eD$4#  
　　(以上k∈Z) B3l"x>O,  
MMiYpRnqxO  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 *5Qe~MK  
s QAJAdz  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = .4-r6=  
~uId0%  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } eIPum_V  
#AJ5JbEpx  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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