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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ;cQFqk`v8  
!{r,e4<  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. cXY^kLY  
GNpV?3o  
　　1、三角函数本质： #,BY:II  
E* p_DJRh  
　　三角函数的本质来源于定义 qCwP[O:J  
e/wx=!y{ u  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 gq@Qo8  
kZv(@0%  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 q[BSLJ$l  
{G1Pg9[  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ur+ wQ.l  
aJ 2a_v UX  
　　推导： 5~6 5d#  
e(q(bT=  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 WQ?W/1wb  
E1Bm- X-  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) spV*d  
Z #v|2BF  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 7T"r8<V  
Fa*\bc d  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 d&Q:2E="  
K ~q%GYIi|  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） H<"?[0}3  
.)l$j_D  
　　[1] 4{i=+9!  
,^/hrP DC  
　　两角和公式 _oTjf. !  
O!+?\:#C  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB :rHZz@sH  
{# F?q=6%  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB   pZ: ?  
Ii}nk!9Ah  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ;E5#Us wF  
jMQRL!i  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB '7uRkGp  
K!K JC9  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,y0sR l,{  
p (}QgK]#  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) -hAdE  
o =|]FL-)  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  %*"SnEf3  
4\ n>v($  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #J6$w2(i'd  
}VQ%/UF s  
倍角公式 4:b9`8/[X  
Z|VJt  
　　Sin2A=2SinA•CosA @5FNMOP7  
Hx"sXQ^X  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 jIb@<  
h >=3^w  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 'U98d 0  
=p$.Eiv  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） rW = n-@  
Lmm4Np  
三倍角公式 iZ/+ f  
|GrQj>G/c  
　　 I? \=  
D^9^-f3  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) R` ?/_g  
<6q4~cB;  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 8~/3*e  
bX7J-\(  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Dj#E_[1"^  
+$+AOfIxcz  
三倍角公式推导 6A-NfgL  
y..|[~G"(#  
　　sin3a G*VFOcFk  
ev0ev ,<|u  
　　=sin(2a+a) FAj(0i1T  
^S aq<P  
　　=sin2acosa+cos2asina wN!8&zNFM  
4S!&vG0  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina @/g8cVR#n  
a4.iqm{>L  
　　=3sina-4sin³a [C(?kN?8  
C4Hezirx  
　　cos3a lFm w)=~  
+ --WkZ  
　　=cos(2a+a) |/ dy8`e  
u!`*=Mfn[6  
　　=cos2acosa-sin2asina ;` P(  
3 -<;j&,  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa j) :q<V  
!#w$`_NV  
　　=4cos³a-3cosa "hWCj2yd?  
spN:-*  
　　sin3a=3sina-4sin³a ruG\<-sAtu  
}%?+dns  
　　=4sina(3/4-sin²a) /=SOq  
j7w<s   
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] SbgKyN$l  
tawSr|%>  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 3Eol#&Ly  
4;9Y72'{  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Y8:eif"`y  
eYQ9C H>l  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] IANycQ  
~vVw5~_f  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) %eh2W0O.  
x&LC[2s3  
　　cos3a=4cos³a-3cosa LISL\Bd  
b*9(Rq1H#  
　　=4cosa(cos²a-3/4) |@oGsl<r  
' 4p9Q~`B0  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] $YDi0_d  
c4jNp  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) OnQJIpu.  
_0lEq {  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) TV NN1wY  
#DXrt~d  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} V5vqb]k?(  
)+KS0Q;  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) &T&h16+U  
R"yp&<>T3  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] x5u+~*}$  
|7OiU/7st  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Y/NRhl H  
z+4 cF^]  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) rg2L D  
/S4.K\]:]M  
　　上述两式相比可得 #/of BR0)  
E``d@R|K  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) > VwxdV:  
Ikl`gZ  
半角公式 u^1D p|  
:n3\SXZy4  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 0dC;;{z  
j$3Jsa@n  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. -V ]VFM6  
1y}C\@gF  
和差化积 1t` -f~  
7SkO(c?  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] hf0y7W  
&N!l} I  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ,?}Bd  
pnenF7L+  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jo[nhi]  
,~7=2]c  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] b+jt@-  
}3> 6  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) xl'-i  
q(43n  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) rq[dVC{q  
O;Q=1jE  
积化和差 dkvvBrGM  
,]4gs?Zi  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] " kZk*M  
$oLxkbRT  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] |.ei1Dw4  
Fm.yQ E;  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] R( U& e-n  
b]|R{[mJ  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] /$,qd>cP  
8};Q(>w}m  
诱导公式 Q0tik>g(`  
w]O.'TahV  
　　sin(-α) = -sinα A"]:Eby  
rF2Y\'`/Pc  
　　cos(-α) = cosα ;#5D;3  
k]7{]uA  
　　sin(π/2-α) = cosα B qn7&>m  
A ^R)/  
　　cos(π/2-α) = sinα P[.IDb'/  
R{CSnq80  
　　sin(π/2+α) = cosα `qTtHv;  
']u_U{WX  
　　cos(π/2+α) = -sinα LUyn0+  
My=G[&>pz`  
　　sin(π-α) = sinα b! l Ou;"  
3:/t  
　　cos(π-α) = -cosα ?h~lL$+  
etdJTRa  
　　sin(π+α) = -sinα :^d8  
ln(9W@bwZ  
　　cos(π+α) = -cosα I}#mECT  
IVVV$X)  
　　tanA= sinA/cosA tFut`c0  
X~M X?  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα v,%eWF  
IEQPJ0;qaW  
　　tan（π/2－α）＝cotα  t Nig\2  
9{[NajX  
　　tan（π－α）＝－tanα fmYRhr  
9<v!%#16  
　　tan（π＋α）＝tanα IbQ7Nw.  
I _q5@X!Fu  
万能公式 G 4pL'nHc  
q8r(SK@Z$!  
　　 +],p3{ofIx  
ECpwQ.dd  
其它公式 `~|'BG4  
lGH17m[n  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1  X<EL0  
VYl  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 $,D!w''r  
E@f!L_E>rY  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 =E^NOL>h  
$q{B St  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ]y[kX  
I@O.4:L5  
　　对于任意非直角三角形,总有 g&>shz  
jM `oJt  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC MD|qax  
o!"U  
　　证: ];435-x!qJ  
8xv`#ll<4_  
　　A+B=π-C ~26p|<[\>  
ig+^bv#  
　　tan(A+B)=tan(π-C) P J.0V|k\  
l-;3rFb_G  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) S7OpKj60  
a}U$yZ&fs  
　　整理可得 da*#c}:#J  
As!=n7;U  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC V\*n:O0G  
):X[*h b@  
　　得证 X8xKZwi&r  
iKp$Op  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 `Q"}D#z<>  
& 5mi  
其他非重点三角函数 WLBjrI  
Bv=VJOti  
　　csc(a) = 1/sin(a) *WO%Dt^3  
4,|pV_"  
　　sec(a) = 1/cos(a) FjOL+Kl  
Y?O~q+  
　　 O@#! ''0  
7_Kk]c   
双曲函数 O`z6IX%&e  
 } V$  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 09N}] Np  
$E<1}z  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 E rf AHB  
Hk!`SIsk8  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) GwSm %?/  
59aUB  
　　公式一： JMUU&rG,^  
PxYI-duf  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： G;Uq O,vD  
,IQ|cyu;X  
　　sin（2kπ＋α）= sinα KX D# q  
iwV>U yq  
　　cos（2kπ＋α）= cosα p( ):O;f  
8:QJ!>,ES  
　　tan（kπ＋α）= tanα  i#}M eN  
Var< ):]  
　　cot（kπ＋α）= cotα &2-}~H_  
z.xg$ ]  
　　公式二： 1E`6,+_  
xQS"_o  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 6d6Ft&lDr  
rlS,{n+  
　　sin（π＋α）= -sinα +GTCZ2  
s }l4  
　　cos（π＋α）= -cosα SqTtK.  
\0=hsf  
　　tan（π＋α）= tanα v?8;W%T}  
's}h/Mb^  
　　cot（π＋α）= cotα shx4.-e9  
v5 JwlJ  
　　公式三： 3]zr-}vk  
Z<ak7Owg]  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： IY]}r [  
2nmh.Qeah  
　　sin（-α）= -sinα Vsl$Z^msC  
<i=3Bf uB  
　　cos（-α）= cosα 73E|%  
%r;m?Cx',  
　　tan（-α）= -tanα \-|lIsisQz  
LFnNRHYz`  
　　cot（-α）= -cotα Qa:@fUe  
L\RYu2u  
　　公式四： ) bo ]D  
P5nwKx!Ie  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： XRZ /`k6  
d.wfT9'  
　　sin（π-α）= sinα .CoHKpc  
hie&N`nF  
　　cos（π-α）= -cosα $ IdLdH7  
?GHiaL?<Z  
　　tan（π-α）= -tanα ~urT=+y  
$\7HtjfG  
　　cot（π-α）= -cotα d(?ZI%}NWn  
@Nhq8C{\  
　　公式五： S#+j<O8  
0(y:NZ&]-  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： !n x.U3Pk  
c,v#DRVzt&  
　　sin（2π-α）= -sinα %4PK'qYP{R  
<EyF'H;Y  
　　cos（2π-α）= cosα x4\Qq)m=  
p9~[pKK  
　　tan（2π-α）= -tanα k>%\RV6  
|Ya<E=P  
　　cot（2π-α）= -cotα U--Qs b%  
8-TfV(?Wb0  
　　公式六： G=FU^y2uY:  
Kgb5~y1  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Q=e^uHmo`  
rDp_U_8V  
　　sin（π/2+α）= cosα b u_tZM  
2LA;=I{  
　　cos（π/2+α）= -sinα %Aa2R},  
d=Be c^?l  
　　tan（π/2+α）= -cotα Ngq\PByH  
(c/f1Osc  
　　cot（π/2+α）= -tanα 2R2jhoj3,f  
qHN, Yg$  
　　sin（π/2-α）= cosα Et 8&5Gcy  
#)\dJ0w  
　　cos（π/2-α）= sinα ^?G^:}I  
|l=h''f8  
　　tan（π/2-α）= cotα RGkjQg  
SXx3 C  
　　cot（π/2-α）= tanα ~I>.b:Z  
#sUaH5q4  
　　sin（3π/2+α）= -cosα luH D$  
'DbNQ%8p)  
　　cos（3π/2+α）= sinα (s&9|iP+,  
GI:MN)Z  
　　tan（3π/2+α）= -cotα WM1o{m,k  
CX0E?Z#Q0  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |@| zVfw  
N!r yfswY  
　　sin（3π/2-α）= -cosα GE<n8<|G  
cd;WOEe  
　　cos（3π/2-α）= -sinα | ?KsT6  
$nO5SDMI  
　　tan（3π/2-α）= cotα Qn<(cFE  
C ViiVCq(  
　　cot（3π/2-α）= tanα (coDC0o  
ff5LNi=b  
　　(以上k∈Z) 9HiYb?DR  
p8 CV @3  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 2vxuhn  
K_xH[<C,  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = JriQ\%n  
e7 2B-?  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } x,>I_  
6KCO(8ZA  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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