三角函数内容规律 ;cQFqk`v8
!{r,e4<
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. cXY^kLY
GNpV?3o
1、三角函数本质: #,BY:II
E*p_DJRh
三角函数的本质来源于定义 qCwP[O:J
e/wx=!y{
u
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 gq@Qo8
kZv(@0%
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 q[BSLJ$l
{G1Pg9[
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: ur+wQ.l
aJ
2a_vUX
推导: 5~6 5d#
e(q(bT=
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 WQ?W/1wb
E1Bm-X-
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) spV*d
Z #v|2BF
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 7T"r8<V
Fa*\bc
d
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 d&Q:2E="
K~q%GYIi|
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) H<"?[0}3
.)l$j_D
[1] 4{i=+9!
,^/hrP DC
两角和公式 _oTjf.!
O!+?\:#C
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB :rHZz@sH
{#F?q=6%
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB pZ:?
Ii}nk!9Ah
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ;E5#UswF
jMQRL! i
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB '7uRkGp
K!KJC9
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,y0sRl,{
p (}QgK]#
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) -hAdE
o
=|]FL-)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) %*"SnEf3
4\
n>v($
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #J6$w2(i'd
}VQ%/UF s
倍角公式 4:b9`8/[X
Z| VJt
Sin2A=2SinA•CosA @5FNMOP7
Hx"sXQ^X
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 jIb@<
h>=3^w
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) 'U98d
0
=p$.Eiv
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) rW =
n-@
Lmm4Np
三倍角公式 iZ/+f
|GrQj>G/c
I? \=
D^9^-f3
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) R`?/_g
<6q4~cB;
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 8~/3*e
bX7J-\(
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Dj#E_[1"^
+$+AOfIxcz
三倍角公式推导 6A-NfgL
y..|[~G"(#
sin3a G*VFOcFk
ev0ev,<|u
=sin(2a+a)
FAj(0i1T
^Saq<P
=sin2acosa+cos2asina wN!8&zNFM
4S!&vG0
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina @/g8cVR#n
a4.iqm{>L
=3sina-4sin³a [C (?kN?8
C4Hezirx
cos3a lFm w)=~
+
--WkZ
=cos(2a+a) |/ dy8`e
u!`*=Mfn[6
=cos2acosa-sin2asina ;`
P(
3
-<;j&,
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa j)
:q<V
!#w$`_NV
=4cos³a-3cosa "hWCj2yd?
spN:-*
sin3a=3sina-4sin³a ruG\<-sAtu
}%?+dns
=4sina(3/4-sin²a) /=SOq
j7w<s
=4sina[(√3/2)²-sin²a] SbgKyN$l
tawSr|%>
=4sina(sin²60°-sin²a) 3Eol#&Ly
4;9Y72'{
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Y8:eif"`y
eYQ9C H>l
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] IANycQ
~vVw5~_f
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) %eh2W0O.
x&LC[2s3
cos3a=4cos³a-3cosa LISL\Bd
b*9(Rq1H#
=4cosa(cos²a-3/4) |@oGsl<r
'4p9Q~`B0
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] $YDi0_d
c4jNp
=4cosa(cos²a-cos²30°) OnQJIpu.
_0lEq{
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) TV NN1wY
#DXrt~d
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} V5vqb]k?(
)+KS0Q;
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) &T&h16+U
R"yp&<>T3
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] x5u+~*}$
|7OiU/7st
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Y/ NRhl
H
z+4
cF^]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) rg2L D
/S4.K\]:]M
上述两式相比可得 #/ofBR0)
E``d@R|K
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) > VwxdV:
Ikl`gZ
半角公式 u^1Dp|
:n3\SXZy4
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 0dC;;{z
j$3Jsa@n
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. -V ]VFM6
1y}C\@gF
和差化积 1t` -f ~
7SkO(c?
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] hf0y7W
&N!l}
I
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ,?}Bd
pnenF7L+
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jo[nhi]
,~7=2]c
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] b+jt@-
}3>6
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) xl'-i
q(43n
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) rq[dVC{q
O;Q=1jE
积化和差 dkvvBrGM
,]4gs?Zi
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] "
kZk*M
$oLxkbRT
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] |.ei1Dw4
Fm.yQE;
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] R(
U& e-n
b]|R{[mJ
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] /$,qd>cP
8};Q(>w}m
诱导公式 Q0tik>g(`
w]O.'TahV
sin(-α) = -sinα A"]:Eby
rF2Y\'`/Pc
cos(-α) = cosα ;#5D;3
k]7{]uA
sin(π/2-α) = cosα Bqn7&>m
A ^R) /
cos(π/2-α) = sinα P[.IDb'/
R{CSnq80
sin(π/2+α) = cosα `qTtHv;
']u_U{WX
cos(π/2+α) = -sinα LUyn0+
My=G[&>pz`
sin(π-α) = sinα b!
lOu;"
3:/t
cos(π-α) = -cosα ?h~lL$+
etdJTRa
sin(π+α) = -sinα :^ d8
ln(9W@bwZ
cos(π+α) = -cosα I}#mECT
IVVV$X)
tanA= sinA/cosA tF ut`c0
X~MX?
tan(π/2+α)=-cotα v,%eWF
IEQPJ0;qaW
tan(π/2-α)=cotα tNig\2
9{[NajX
tan(π-α)=-tanα fmYRhr
9<v!%#16
tan(π+α)=tanα IbQ7Nw.
I_q5@X!Fu
万能公式 G 4pL'nHc
q8r(SK@Z$!
+],p3{ofIx
ECpwQ.dd
其它公式 `~|'B G4
lGH17m[n
(sinα)^2+(cosα)^2=1 X<EL0
VYl
1+(tanα)^2=(secα)^2 $,D!w''r
E@f!L_E>rY
1+(cotα)^2=(cscα)^2 =E^NOL>h
$q{B
St
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ]y[kX
I@O .4:L5
对于任意非直角三角形,总有 g&>shz
jM `o Jt
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC MD|q ax
o!"U
证: ];435-x!qJ
8xv`#ll<4_
A+B=π-C ~26p|<[\>
ig+^bv#
tan(A+B)=tan(π-C) P
J.0V|k\
l-;3rFb_G
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) S7OpKj 60
a}U$yZ&fs
整理可得 da*#c}:#J
As!=n7;U
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC V\*n:O0G
):X[*hb@
得证 X8xKZwi&r
iKp$Op
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 `Q"}D#z<>
&
5mi
其他非重点三角函数 WLBjrI
Bv=VJOti
csc(a) = 1/sin(a) *WO%Dt^3
4,|pV_"
sec(a) = 1/cos(a) FjOL+Kl
Y?O~q+
O@#!''0
7_Kk]c
双曲函数 O`z6IX%&e
}V$
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 09N}]Np
$E<1}z
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 E rf
AHB
Hk!`SIsk8
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) GwSm %?/
59aUB
公式一: JMUU&rG,^
PxYI-duf
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: G;UqO,vD
,IQ|cyu;X
sin(2kπ+α)= sinα KX
D#
q
iwV>U yq
cos(2kπ+α)= cosα p(
):O;f
8:QJ!>,ES
tan(kπ+α)= tanα
i#}MeN
Var< ):]
cot(kπ+α)= cotα &2-}~H_
z.xg$ ]
公式二: 1E`6,+_
xQS"_o
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 6d6Ft&lD |