三角函数内容规律 g!]P1M}g
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三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. f.P6m%U
J%aj|6
1、三角函数本质: _}`UBF
1G=iE~/#*
三角函数的本质来源于定义 +tvS>OL5Ig
'73(=Khj
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 7k uY
h:BocJ3<5
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ZD|D @
M'\!>h'
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: X{U]K`<
X
PSj$ ]
推导: Xv#un>UX
"
+ELpOhF
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 !jjPwB9i
|R9YW_
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) tlc![}QQ
_R6H.n1"
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) qXZV6 -
/Py!1d
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &pB&pBGE
a<*1WqD6
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) (Z_"AwX
!]R{Pk
[1] 3%t?5 1
)L"%DLn%
两角和公式 t-4W*_A=
0NP)5V(
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Bf(7F{b#
"Y+:.(Q
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB m!q%)s
I\#Y
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB SEP|7t
12YiZ)
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB iNL}m6
mGV`cjh>)G
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) #K6|=Dp
cEOl= _k
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^Mj"&5j9
&6720[M
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 8$A&rkkrU
[:$6) zW
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) qUFl'+>^EB
N3zO*.[)
倍角公式 oNzcdc
D=/,[-eJ
Sin2A=2SinA•CosA We'EP{
81h^{5!~H
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 o1.C 0
e.,
SJR\\bN
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) wXJuuV@crb
-D{EKi.z
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) xaU%\]
"i8e4
三倍角公式 $7Y%3S
h ]3$MK`
6Patpd`/ z
ts|%.N[8IF
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) C(mHs f?
l\WL6[:K4p
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) S*+VMP!)
GX]m2E\M
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) x>j\
pZ5]
|~(Z+Fak
三倍角公式推导 ,ksQ*7!4
8,N\;I"lJ
sin3a V&h%E8J
rOe:/(u
=sin(2a+a) HrvCM'._
W2quZP)mu&
=sin2acosa+cos2asina (T@Q%v5X>
$B}*kC 5oh
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina WA{X,8:W=a
;a=I.us"
=3sina-4sin³a :+
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X_fd@"\E
cos3a ?D7nN#s
yWy4Vh
=cos(2a+a) 7`)Z {EN.
qpI [lY
=cos2acosa-sin2asina ,rQlT-0[
A
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=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa T"J?TB/4
' Zwc]9
=4cos³a-3cosa ND{zIq 79
xc=MBmayy
sin3a=3sina-4sin³a cT
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^W
t9&6|IE
=4sina(3/4-sin²a) #aa
6Zm
m\
"
r
=4sina[(√3/2)²-sin²a] p;.8`]
gD26or!
=4sina(sin²60°-sin²a) WR{r.y
(Qz 7+
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) |+-f^VKE.
DZF$rg8Gh
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] F?f0?>#GH@
sMIY?@vn
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) quczor)wIf
aD]QU,swQ
cos3a=4cos³a-3cosa l:2~Z6x8xm
evH <Q
=4cosa(cos²a-3/4) xy71H+b'B?
"k;MZ-?
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] NJEU9<Ql
^UCHVyS6
=4cosa(cos²a-cos²30°) ty3W!'?W\
[! { A
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 2C]z{D
q'TQ0~"
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Me>dENo
&ah. g
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) y`=W~8C
#}ha
W0
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] (3BEs=6r;
a;lQt
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] j&wn-z
Tb\rqud
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |]"Z%6*[
|wz4VQz!G'
上述两式相比可得 <zy[??DTl
3{S,<1(
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) E.%Xz
=
)q^|`4,h4
半角公式 vV*
zGX6
Ee\<qd-G
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); /%8ZEK
gz#(zJL'*
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. -:R[4';=
wnIz.}R,
和差化积 =ix)uMF
H0?wA4=
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] I_}koi
('?HM&]K
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] J95<yu30o
$n&%J?
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] SN'!m
PDr?xO+%a
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] SM~RI'O 2
w]/a#1eZ&
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) #\uhH'!
ryZ,_CG#
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) C}<J[ V[
h@j2n~<D
积化和差 ;Kr/DEAe?M
X+jj78D
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ^"
zNpYs:
}@Ojn,ee:
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !i2mb~65
RX$*_
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] +fs&)jSi7
Uoq #<\[&M
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] wW@'
<RiF
m<\'A
诱导公式 975PB=f
2Xr>wNk4_~
sin(-α) = -sinα 8JdxY=1
7$j)?a^J
cos(-α) = cosα \!}'={ X
i[k
ehK*
sin(π/2-α) = cosα Z8JXe(
X(v4+l*
cos(π/2-α) = sinα Q7`~BCbd
W7<FKjhkSc
sin(π/2+α) = cosα \5oLxH)LDi
bB|a;SL$=
cos(π/2+α) = -sinα $QBy,
Fk`m'8
sin(π-α) = sinα a`|ti;DGh
VjS0[*J
cos(π-α) = -cosα C-
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sin(π+α) = -sinα Di|2k/[l(m
6j?7YX
cos(π+α) = -cosα v,y(v%8
`}4@/mnBY;
tanA= sinA/cosA _Uc%#W
59.U
tan(π/2+α)=-cotα fY9YP3I|o
z!AN[l
tan(π/2-α)=cotα UZysv}3
E4
%$+Lx<G
tan(π-α)=-tanα T#ae;7
za%{Wk+Z
tan(π+α)=tanα IH:G2[AL
a+MP
万能公式 Nk7wfWf_(
&o |