三角函数内容规律 LCV7
'N
bKVH
c)g
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. b"uubU)c
E]s?sIex}L
1、三角函数本质: ]U fa%9
c~6C`"
三角函数的本质来源于定义 NKuR'<![8
` D{(3
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 \ -WpJ
7x!ibe|an
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 1)t#kU
:JDPL
;UT
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: arq3_
u5 9d%2
推导: laSUOwR
q E1O.Xk>
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 ]Qj_ ?3
?~Y|r2i m
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) "D/vWCo
|C.QTmt
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) wWJ Pq#:1
y`* 1U,l
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 CYe`Vor2
cc>E{w@*
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) EovA@XPo
(0&
$@
[1] >0aQyM/Yn
T[3JOd}
两角和公式 5/M f,}R
/2+H+X'K
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB vroW2B9
gt56VVXyE
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB vjfV*S5Ps
m`d^biUf~
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB g.&,"=X[Cd
J65;r91}
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB uK)=*_H$m
&|7X~EH2
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) M15@=:
4\YoURXD0
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) TY0>UMG
c{m
hr2
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) M |iq
vH,5f63lp
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %s
Yt
kzJtS i
倍角公式 7)e=o
iPI-57VAf
Sin2A=2SinA•CosA (#|R5
yp_4
YHdS
f-
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ;0MKI`:5
+H?xcwRh2?
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) t3J0v.2K
J/LvyHC
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 1
uP\~Q7t
7d=e4e77
三倍角公式 8OI6K"'
G
*x7'&I
(Q#CA`u
Jm4GJ65
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) R
=`Y`lj&
o3*(}
I3
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) +T[2:>^
D )fyt|lL
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 0@ ~jbX
6&|y7p[K
三倍角公式推导 5:GYW8>W
w
3=b>Ys
sin3a v[VEMg
nN8ay>%=X
=sin(2a+a) tu _
(Hy?
r/Ri
o5;
=sin2acosa+cos2asina mV&Bp0O7d
&d7K9tM
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina vY#UUR&R
@N>=):9s
=3sina-4sin³a OPEf a=D
Oe#U,>X>~
cos3a fob4=,
~]]r uyE
=cos(2a+a) ~tup-0m
iL@&a\'>J
=cos2acosa-sin2asina h3Ytl^h
ox"Q*7 C
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa s?_[)
6q<=^J6{
=4cos³a-3cosa
}kF^sT}
u\N[./O{
sin3a=3sina-4sin³a Pu^Ls69<
,,/!*EF
=4sina(3/4-sin²a) f&*bA"i
[G2T$V
=4sina[(√3/2)²-sin²a] M0kr%2_uB
?W(gbn<nC
=4sina(sin²60°-sin²a) {zjQtlMM
{wVV9IJf
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ~/#fsa@
-rAn+2w8
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] T{~B"/uH
!.V{6nx5
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) l>5._=Ld\
c$r[&k
cos3a=4cos³a-3cosa >6|AMa{G
4dK?7j1:/V
=4cosa(cos²a-3/4) aq%h +I
RRJLT$
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] <T};E]*Uh
{
D3 a?@
=4cosa(cos²a-cos²30°) Pn 9J?x,!
K=A)h(S
%
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) +nFYP]"
,/FI$DFI
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vL!8ABs
%E~a]PO
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) s@vqgicq(
S"48N&g
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] MRlBKh{Z?t
9`q;+}tux/
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 9p S
P+ge*'
7
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ]4a?<i<5
K!O|N%`a
上述两式相比可得 `EdjFw
-qQ(yZ{
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) WmNfdg~?j
"LTY"
半角公式 n{Q@^gy$
L[Hv;9^
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); rp[k'n&=Y
V4Opm!SLpH
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. pQB9&t
u93%wGR!$
和差化积 2F;lC8$
;-wCsdf<N
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] d:5]P6;Z
q/8 $iL
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] moe.!kk
MHq8x _X
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1"Ai&h|_
|svDC !*!T
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] j"i,rJ
:?F'+
up0i
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) opcnT"XJ9
6_G+4NG
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) lUHo[<m7
0LYp9A<
积化和差 oTLvQ
8t
/yp^e<tG
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] -8bkD{srn~
_;lOVH#l
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ZoXBtF^
x
gM@885D
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] o]@FtKxX
VAdxz*si%
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] U u|3B,I;3
DY826'ha9
诱导公式 U%"gA?FI
]%6[)\}g
sin(-α) = -sinα u/}pat*p
Tgx@crnu
cos(-α) = cosα ,|"oCl>[
9k0f
I[
sin(π/2-α) = cosα Ma~YDe
#PP8#\ =
cos(π/2-α) = sinα i(/T[oEt
&]FS$`t
sin(π/2+α) = cosα EQ7c08!f
@ qo
FF
X"
cos(π/2+α) = -sinα }'Y#S
%PA,}tq
sin(π-α) = sinα ?>
TvB
N>^J
cos(π-α) = -cosα wE
>$d#/
'XN
hX2go
sin(π+α) = -sinα y7-Nq:n[
8s}tr#
cos(π+α) = -cosα I ~s(
HZa Vp
tanA= sinA/cosA >;9%}
e2
l|X
tan(π/2+α)=-cotα Zyi4c0e
6-A0>^&
tan(π/2-α)=cotα h:r`F]1QF
<[U3V%M{
tan(π-α)=-tanα 'ihu}~,
8Kp!"\
tan(π+α)=tanα [:0G(l
Aj"hDuj(E
万能公式 /V+1|
D&"{L2
FN~"?i5V$!
>,ms*JR
其它公式 >(&vup 1
9YVv%s4Xj
(sinα)^2+(cosα)^2=1 T"U#h~
t.
*pP.Zi
]
1+(tanα)^2=(secα)^2 X
2
bZt`
HBWBg
1+(cotα)^2=(cscα)^2 k"G
yOw~
8k\~eJ
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ZLV;(=!>P
/~&|LlD'
对于任意非直角三角形,总有 %Ns2%f'
HP7?4HuE
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,K!-Vq`nG
7HXtWzZb
证: Hhu0q[l5G
Duw[wB#
A+B=π-C .= `=DH *
Q]IyIi?G
tan(A+B)=tan(π-C) -i"-b&O0
#g
Ctf
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Zc,z}ayg
c2y[Zo]
整理可得 n/~x("yu
-d-#f8A>*c
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >fS%Z/IVW@
g)guBLs
得证 GY}<^VL
g3F]0
ICqX
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 H1DR2+
Q;.pQQr=/
其他非重点三角函数 =L`f'\M
xIp914l63
csc(a) = 1/sin(a) (2 PkY/
p7Xmz]9{e
sec(a) = 1/cos(a) n;JO>$U
kJpv%iS
_`av:rgk9
U?<ltrQAo
双曲函数 [9/)tMO`
O@W?$k"%bT
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 bnKW\ tc5
$Vd_H%y?
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 G^Oyb]>x"S
}f%WDYk
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ;Z%
"+keZ
+$ gAV
公式一: B'_R6`=wu$
X?9IW
O
9
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: X}$/6WUq}
lAh"mPoN
sin(2kπ+α)= sinα 0! Z&,Z7
R/;Q'uVCB
cos(2kπ+α)= cosα
/81
#bs
vAyg[h
tan(kπ+α)= tanα V1H9ah
*xBor]]a
cot(kπ+α)= cotα p ;ktxRD
I` }E6LqK
公式二: T4+oYI
_-{{{0
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: mo%k"b[.
Ea.GKl}
sin(π+α)= -sinα Q0e-_d
?/u+Yo#:
cos(π+α)= -cosα Np5=CG]-@
0zr+Iz%ED
tan(π+α)= tanα N;6Ev^@if
)#$5Ude"Nc
cot(π+α)= cotα $?I46
0
V k2
S$3
公式三: hOX-C_/M
'hdg=c
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 9-R (H;F
=;,QN9Xk7
sin(-α)= -sinα *Qt3Mv9Qn
(
<OBcnM
cos(-α)= cosα mR;I&'4#
kTvdX`;S@
tan(-α)= -tanα n-$h6U$
fn?0Jg]^Jq
cot(-α)= -cotα |ny%,Ku0
?SA~=u
公式四: I
)tq"I
0/h,N.x`
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: c2>M\T
v
Uv=O6)t
sin(π-α)= sinα )qmr2
S
vM*$
cos(π-α)= -cosα 7WN1k8Q:
$X!a
#J5}
tan(π-α)= -tanα AD X"}MR
X
X&hV5A
cot(π-α)= -cotα sL]bGX-
;m,HgCK'
公式五: kNE<72W :
?~
j&O~ln
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: GOr!M@*
y\S?!~nn
sin(2π-α)= -sinα @a*\.#e'
xFjE2
cos(2π-α)= cosα (9]30NE
K!#\3=QFU?
tan(2π-α)= -tanα @@AKxfs|
EY0z 1nU
cot(2π-α)= -cotα >W|6GM
uhK_L~MSJE
公式六: MzVkY.[I
}a[m33>&!P
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: EsAiE
f>vw}
sin(π/2+α)= cosα O3mIY@)5L
<UVnD0iu
cos(π/2+α)= -sinα P.+|DK 7
np# YUs2
tan(π/2+α)= -cotα 3)-Kc\j'N
bg(RGA;
cot(π/2+α)= -tanα lAwgYO4
)Zd3Mm'l+
sin(π/2-α)= cosα SF8ab=+
r)(':'y
cos(π/2-α)= sinα =p=S2d]\w
{<m+U;o
tan(π/2-α)= cotα wN".gkiUG
@z7DfO{<
cot(π/2-α)= tanα @e%_e$>"
6B1HXU(f
sin(3π/2+α)= -cosα 6Ipd]ky
F/V,
cos(3π/2+α)= sinα (0RGZQVU
&aQl.$o0
q
tan(3π/2+α)= -cotα a:{_
?\iTb\O
cot(3π/2+α)= -tanα <}ZN'v9{
:uAWY
sin(3π/2-α)= -cosα 1N{Sx,q!v
*XZ*S4RIK
cos(3π/2-α)= -sinα 7 =y{Y J
5?\<1x`Zw
tan(3π/2-α)= cotα l<;2Xc
z
a0 16^g*/#
cot(3π/2-α)= tanα h#IpjN!
{3JL}~IV
(以上k∈Z) #Vmm.k
Ln!p-v/
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 AhN*ujk`x
IicuEp
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ~\N"^+CH
nl@#Q0?
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } `]DK4xlS0
?UQ 0'>e/7
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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