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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 LCV7 'N  
bKVH c)g  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. b"uubU)c  
E]s?sIex}L  
  1、三角函数本质: ]U fa%9   
c~6C`"  
  三角函数的本质来源于定义 NKuR'<![8  
` D{(3  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 \ -WpJ  
7x!ibe|an  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导  1)t#kU  
:JDPL ;UT  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: arq3_  
u59d%2  
  推导: laSUOwR  
q E1O. Xk>  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 ]Q j_ ?3  
?~Y|r2im  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) "D/vWCo  
|C.QTmt  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) wWJ Pq#:1  
y`* 1U,l  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 CYe`Vor2  
cc>E{w@*  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) EovA@XPo  
(0& $@  
  [1] >0aQyM/Yn  
T[3JOd}  
  两角和公式 5/Mf,}R  
/2+H+X'K  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB vroW2B9  
gt56VVXyE  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  vjfV*S5Ps  
m`d^biUf~  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB g.&,"=X[Cd  
J65;r91}  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB uK)=*_H$m  
&|7X~EH2  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) M15@=:  
4\YoURXD0  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) TY0>UMG  
c{m hr2  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  M |iq   
vH,5f63lp  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %s Yt  
kzJtS i  
倍角公式 7)e=o  
iPI-57VAf  
  Sin2A=2SinA•CosA (#|R5 yp_4  
YHdS f-  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ;0MKI`:5  
+H?xcwRh2?  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) t3J0v.2K  
J/LvyHC  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 1 uP\~Q7t  
7d=e4e77  
三倍角公式 8OI6K"'  
G *x7'&I  
   (Q#CA`u  
Jm4GJ65  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) R =`Y`lj&  
o3*(} I3  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) +T[2:>^  
D )fyt|lL  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 0@~jbX  
6&|y7p[K  
三倍角公式推导 5:GYW8>W  
w 3=b>Ys  
  sin3a v[VEMg  
nN8ay >%=X  
  =sin(2a+a) tu _ (Hy?  
r/Ri o5;  
  =sin2acosa+cos2asina mV&Bp0O7d  
&d7K9tM  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina vY#UUR&R  
@N>=):9s  
  =3sina-4sin³a OPEf a=D  
Oe#U,> X>~  
  cos3a fob4=,  
~]]r uyE  
  =cos(2a+a) ~tup-0m  
iL@&a\'>J  
  =cos2acosa-sin2asina h3Ytl^h  
ox "Q*7 C  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa s? _[)  
6q<=^J6{  
  =4cos³a-3cosa }kF^sT }  
u\N[./O{  
  sin3a=3sina-4sin³a Pu^Ls69<  
,,/!*EF  
  =4sina(3/4-sin²a) f&*bA"i   
[G2T$V  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] M0kr%2_u B  
?W(gbn<nC  
  =4sina(sin²60°-sin²a) {zjQtlMM  
{wVV9IJf  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ~/#fsa@  
-rAn+2w8  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] T{~B"/uH  
!.V{6nx5  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) l>5._=Ld\  
c$r[&k  
  cos3a=4cos³a-3cosa >6|AMa{G  
4dK?7j1:/V  
  =4cosa(cos²a-3/4) aq%h +I  
RRJLT$  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] <T};E]*Uh  
{ D3a?@  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) Pn 9J?x,!  
K=A)h(S %  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) +nFYP]"  
,/FI$DFI  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vL!8ABs  
%E~a]PO  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) s@vqgicq(  
S"48N&g  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] MRlBKh{Z?t  
9`q;+}tux/  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 9pS  
P+ge*' 7  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ]4a?<i<5  
K!O|N%`a  
  上述两式相比可得 `EdjFw  
-qQ(yZ{  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) W mNfdg~?j  
"LT Y"   
半角公式 n{Q@^gy$  
L[Hv;9^  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); rp[k'n&=Y  
V4Opm!SLpH  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. pQB9&t  
u93%wGR!$  
和差化积 2F;lC8$  
;-wCsdf<N  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] d:5]P6;Z  
q/8 $iL  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] moe.!kk   
MHq8x _X  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1"Ai&h|_  
|svDC !*!T  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] j"i,rJ  
:?F'+ up0i  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) opcnT"XJ9  
6_G+4N&#G  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) lUHo[<m7  
0LYp9A<  
积化和差 oTLvQ  8t  
/yp^e<tG  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] -8bkD{srn~  
_;lOVH#l  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ZoXBtF^ x  
gM@885D  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] o]@FtKxX  
VAdxz*si%  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] U u|3B,I;3  
DY826'ha9  
诱导公式 U%"gA?FI  
]%6[)\}g  
  sin(-α) = -sinα u/}pat*p  
Tgx@crnu  
  cos(-α) = cosα ,|"oCl>[  
9k0f I[  
  sin(π/2-α) = cosα Ma~YDe  
#PP8#\ =  
  cos(π/2-α) = sinα i(/T[oEt  
&]FS$`t  
  sin(π/2+α) = cosα EQ7c08!f  
@ qo FF X"  
  cos(π/2+α) = -sinα }'Y#S   
%PA,}tq  
  sin(π-α) = sinα ?> TvB  
N>^J  
  cos(π-α) = -cosα wE >$d#/  
'XN hX2go  
  sin(π+α) = -sinα y7-Nq: n[  
8s}tr#  
  cos(π+α) = -cosα I ~s(  
HZa Vp  
  tanA= sinA/cosA > ;9%}  
e2 l|X  
  tan(π/2+α)=-cotα Zyi 4c0e  
6-A0>^&  
  tan(π/2-α)=cotα h:r`F]1QF  
<[U3V%M{  
  tan(π-α)=-tanα 'ihu}~,  
8Kp!"\  
  tan(π+α)=tanα [:0G(l  
Aj"hDuj(E  
万能公式 / V+1|  
D &"{L2  
   FN~"?i5V$!  
>,ms*J R  
其它公式 >(&vup 1  
9YVv%s4Xj  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 T"U#h~ t.  
*pP.Zi ]  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 X 2 bZt`  
HBWBg  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 k"G yOw~  
8k\~eJ  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ZLV;(=!>P  
/~&|LlD'   
  对于任意非直角三角形,总有 %N s2%f'  
HP7?4HuE  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,K!-Vq`nG  
7HXtWzZb  
  证: Hhu0q[l5G  
Duw[w B#  
  A+B=π-C .= `=D H *  
Q] IyIi?G  
  tan(A+B)=tan(π-C) -i"-b&O0  
#g C tf  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Zc,z}ayg  
c2y[Zo]  
  整理可得 n/~x("yu  
-d-#f8A>*c  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >fS%Z/IVW@  
g)guBL s  
  得证 GY}<^VL  
g3F]0 ICqX  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 H1DR2+  
Q;.pQQr=/  
其他非重点三角函数 =L `f'\M  
xIp914l63  
  csc(a) = 1/sin(a) (2PkY/  
p7Xmz]9{e  
  sec(a) = 1/cos(a) n;JO>$U  
kJpv%iS  
   _`av:rgk9  
U?<ltrQAo  
双曲函数 [9/)tMO`  
O@W?$k"%bT  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 bnKW\ tc5  
$Vd_H%y?  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 G^Oyb]>x"S  
}f%WDYk  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ;Z% "+keZ  
+$ gAV  
  公式一: B'_R6`=wu$  
X?9IW O 9  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: X}$/6WUq}  
lAh"mPoN  
  sin(2kπ+α)= sinα 0! Z&,Z7  
R/;Q'uVCB  
  cos(2kπ+α)= cosα /81 #bs  
vAyg [h  
  tan(kπ+α)= tanα V1H9ah  
*xBor]]a  
  cot(kπ+α)= cotα p;ktxRD  
I` }E6LqK  
  公式二: T4+oYI  
_-{{{0  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: mo%k"b[.  
Ea.GKl}  
  sin(π+α)= -sinα Q0e-_d  
?/u+Yo#:  
  cos(π+α)= -cosα Np5=CG]-@  
0zr+Iz%ED  
  tan(π+α)= tanα N;6Ev^@if  
)#$5Ude"Nc  
  cot(π+α)= cotα $?I46 0  
V k2 S$3  
  公式三: hOX-C_/M  
'hdg=c  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 9-R (H;F  
=;,QN9Xk7  
  sin(-α)= -sinα *Qt3Mv9Qn  
( <OBcnM  
  cos(-α)= cosα mR;I&'4#  
kTvdX`;S@  
  tan(-α)= -tanα n- $ h6U$  
fn?0Jg]^Jq  
  cot(-α)= -cotα |ny%,Ku0  
?SA~=u  
  公式四: I )tq"I  
0/h,N.x`  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: c2>M\T v  
Uv=O6)t  
  sin(π-α)= sinα )qmr2  
S vM*$  
  cos(π-α)= -cosα 7WN1k8Q:  
$X!a #J5}  
  tan(π-α)= -tanα AD X"}MR  
X X&hV5A   
  cot(π-α)= -cotα sL]bGX-  
;m,HgCK'  
  公式五: kNE<72W:  
?~ j&O~ln  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: GOr!M@*  
y\S?!~nn  
  sin(2π-α)= -sinα @a*\.#e'  
xFjE2  
  cos(2π-α)= cosα (9]30NE  
K!#\3=QFU?  
  tan(2π-α)= -tanα @@AKxfs|  
EY0z1nU  
  cot(2π-α)= -cotα >W|6GM  
uhK_L~MSJE  
  公式六: MzVkY.[I  
}a[m33>&!P  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: Es AiE  
f>vw}  
  sin(π/2+α)= cosα O3mIY@)5L  
<UVnD0iu  
  cos(π/2+α)= -sinα P.+|DK 7  
np# YUs2  
  tan(π/2+α)= -cotα 3)-Kc\j'N  
bg(RGA;  
  cot(π/2+α)= -tanα lAwgYO4  
)Zd3Mm'l+  
  sin(π/2-α)= cosα SF8ab=+  
r)(':'y  
  cos(π/2-α)= sinα =p=S2d]\w  
{<m+U;o  
  tan(π/2-α)= cotα wN".gkiUG  
@z7DfO{<  
  cot(π/2-α)= tanα @e%_e$>"  
6B1 HXU(f  
  sin(3π/2+α)= -cosα 6Ipd] ky  
F/V,   
  cos(3π/2+α)= sinα (0RGZQVU  
&aQl.$o0 q  
  tan(3π/2+α)= -cotα a: {_  
?\iTb\O  
  cot(3π/2+α)= -tanα <}ZN'v9{  
:u AWY  
  sin(3π/2-α)= -cosα 1N{Sx,q!v  
*XZ* S4RIK  
  cos(3π/2-α)= -sinα 7 =y{Y J  
5?\<1x`Zw  
  tan(3π/2-α)= cotα l<;2Xc z  
a0 16^g*/#  
  cot(3π/2-α)= tanα h#IpjN!  
{3JL}~IV  
  (以上k∈Z) #Vmm.k  
Ln!p-v/   
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 AhN*ujk`x  
IicuEp  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ~\N"^+CH  
nl@#Q0?  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } `]DK4xlS0  
?UQ 0'>e/7  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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