日历

2025 - 3
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031     
«月» 2025 - 3 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 g!] P1M}g  
E}DPI&(H  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. f.P6m%U  
J%aj|6  
　　1、三角函数本质： _}`UBF  
1G=iE~/#*  
　　三角函数的本质来源于定义 +tvS>OL5Ig  
'73(=Khj  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 7 kuY  
h:BocJ3<5  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ZD|D @  
M'\!>h'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： X{U]K`< X  
PSj$ ]  
　　推导： Xv#un>UX  
" +ELpOhF  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 !jjPwB9i  
|R9YW_  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) tlc![}QQ  
_R6H.n1"  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) qXZ V6-  
/Py!1d  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &pB&pBGE  
a<*1WqD6  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） (Z_"AwX  
!]R{ Pk  
　　[1] 3%t?5 1  
)L"%D Ln%  
　　两角和公式 t-4W*_A=  
0NP)5V(  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Bf(7F{b#  
"Y+:.(Q  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  m!q%)s  
I\ #Y  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB SEP|7t  
12 YiZ)  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB iNL}m6  
mGV`cjh>)G  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) #K6|=Dp  
cEOl= _k  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^Mj"&5j9  
&6720[M  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  8$A&rkkrU  
[:$6) zW  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) qUFl'+>^EB  
N3zO*.[)  
倍角公式 oNzcdc  
D=/,[-eJ  
　　Sin2A=2SinA•CosA We'EP{  
81h^{5!~H  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 o1.C 0 e.,  
SJR\\b N  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） wXJuuV@crb  
-D{EKi.z  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） xaU%\]  
"i8e4  
三倍角公式 $7Y%3S  
h]3$MK`  
　　 6Patpd`/z  
ts|%.N[8IF  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) C(m Hsf?  
l\WL6[:K4p  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) S*+VMP !)  
GX]m2E\M  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) x>j\ pZ5]  
|~(Z+Fak  
三倍角公式推导 ,ksQ*7!4  
8,N\;I"lJ  
　　sin3a V&h%E8J  
rOe:/(u  
　　=sin(2a+a) HrvCM'._  
W2quZP)mu&  
　　=sin2acosa+cos2asina (T@Q%v5X>  
$B}*kC5oh  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina WA{X,8:W=a  
;a=I.us"  
　　=3sina-4sin³a  :+ hC>  
X_fd@"\E  
　　cos3a ?D7nN#s  
yWy4 Vh  
　　=cos(2a+a) 7`)Z {EN.  
qpI [lY  
　　=cos2acosa-sin2asina ,rQlT-0[  
A hTL  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa T"J?TB/4  
' Zwc]9  
　　=4cos³a-3cosa ND{zIq 79  
xc=MBmayy  
　　sin3a=3sina-4sin³a cT :} ^W  
t9&6|IE  
　　=4sina(3/4-sin²a) #aa 6Zm  
m\ " r  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  p;.8`]  
gD26or!   
　　=4sina(sin²60°-sin²a) WR{r.y  
(Qz 7+  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) |+-f^VKE.  
DZF$rg8Gh  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] F?f0?>#GH@  
sMIY?@vn  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) quczor)wIf  
aD]QU,swQ  
　　cos3a=4cos³a-3cosa l:2~Z6x8xm  
evH <Q  
　　=4cosa(cos²a-3/4) xy71H+b'B?  
"k;MZ-?  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] NJEU9<Ql  
^UCHVy S6  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ty3W!'?W\  
[! { A  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 2C]z{D  
q'TQ0~"  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Me>dENo  
& ah. g  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) y`=W~8C  
#}ha W0  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] (3BEs=6r;  
a;lQ t  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] j&wn-z  
Tb\rqud  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |]"Z%6*[  
|wz4VQz!G'  
　　上述两式相比可得 <zy[??DTl  
3{S,<1(  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) E.%Xz =  
)q^|`4,h4  
半角公式 vV* zGX6  
Ee\<qd-G  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); /%8Z EK  
gz#(zJL'*  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. -:R [4';=  
wnIz.}R,  
和差化积 =ix)uMF  
H0?wA4=  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] I_}koi  
('?HM&] K  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] J95<yu30o  
$n&%J ?  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] SN'!m  
PDr?xO+%a  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] SM~RI'O 2  
w]/a#1eZ&  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) #\uhH'!  
ryZ,_CG#  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) C}<J[ V[  
h@j2n~<D  
积化和差 ;Kr/DEAe?M  
X+jj78D  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ^" zNpYs:  
}@Ojn,ee:  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !i2mb~65  
RX$*_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] +fs&)jSi7  
Uoq #<\[&M  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] wW@' <RiF  
m< \'A  
诱导公式 975PB=f  
2Xr>wNk4_~  
　　sin(-α) = -sinα 8JdxY=1  
7$j)?a^J  
　　cos(-α) = cosα \!}'={ X  
i[k ehK*  
　　sin(π/2-α) = cosα Z8JXe(  
X(v4+l*  
　　cos(π/2-α) = sinα Q7`~BCbd  
W7<FKjhkSc  
　　sin(π/2+α) = cosα \5oLxH)LDi  
bB|a;SL$=  
　　cos(π/2+α) = -sinα $ QBy,  
Fk`m'8  
　　sin(π-α) = sinα a`|ti;DGh  
 VjS0[*J  
　　cos(π-α) = -cosα C-  )\O  
^(OZm  
　　sin(π+α) = -sinα Di|2k/[l(m  
 6j?7YX  
　　cos(π+α) = -cosα v,y(v%8  
`}4@/mnBY;  
　　tanA= sinA/cosA _Uc%#W  
59. U  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα fY9YP3I|o  
z!AN[l  
　　tan（π/2－α）＝cotα UZysv}3 E4  
%$+Lx<G  
　　tan（π－α）＝－tanα T#ae;7  
za%{Wk+Z  
　　tan（π＋α）＝tanα IH:G2[AL  
a+MP  
万能公式 Nk7wfWf_(  
&od}"nexT  
　　 o<'fL[bW  
PhY2pO~*  
其它公式 K=!en >  
dj9<8 )\  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 '{Ti8< ?Q  
-QjU\v!/  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 /-M6GXe f  
|]Sk_D(R)  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 "Uh3 n  
n#+Y$N[CO!  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 [1HJ8B  
G*8\}65*  
　　对于任意非直角三角形,总有 P(q#YY  
/`K-l  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC F_>?ux1']  
Z4TKE  
　　证: 1suf7"Y  
RagRhiCk  
　　A+B=π-C "DqnO1VCv  
Y70,{__)  
　　tan(A+B)=tan(π-C) `GALJI+  
 ^  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 9Ec>GYo  
q}(;n   
　　整理可得 4Dt!fD R  
DqVpYbw  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *n i 4')  
2 {1t-8^  
　　得证 E0[+XUz3  
pS&8*amq  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ~fOz$b(RY.  
@Pyz\eF@  
其他非重点三角函数 lyx6RiW  
Ar"&Ze}("  
　　csc(a) = 1/sin(a) f4Q!-.}  
A:dHTwV=  
　　sec(a) = 1/cos(a) kO)i[\ )s+  
5/0j`Ywp  
　　 1tTNvt[9  
1.GE LB  
双曲函数 (5a2aU&! "  
Y/o wT_  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 y;<13Q,z:  
W3APG!I`  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 kJ&5J@:r  
gm^KXQ C  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 5U5HUsIs  
Q* cmct`"G  
　　公式一： )A^ToWbz  
K\Q+phd!nQ  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： wwn r%Br  
)d$T:.36  
　　sin（2kπ＋α）= sinα h%{m?yb2`  
WqO[Rz{)|  
　　cos（2kπ＋α）= cosα HpO#J?K  
W3't :X#  
　　tan（kπ＋α）= tanα p\P l[;&  
(lWJ0luoJ  
　　cot（kπ＋α）= cotα yJi~HX63  
*9-{HI0  
　　公式二： 3S8}V.kS  
9x+6g)8g[  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： |?H0}L!#  
x83r\&kr  
　　sin（π＋α）= -sinα ]q%Jy3C  
l%|[%Mv \  
　　cos（π＋α）= -cosα U9 +#YV|  
S?c&S8? N  
　　tan（π＋α）= tanα AT8B1T/A:  
&|'^qeQ&s  
　　cot（π＋α）= cotα R5  f!Z  
me,Ivyy^  
　　公式三： $ UOt*;  
{q_"8 2A  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： d!<'V} <  
o%?sHPSL  
　　sin（-α）= -sinα h\4/q  
={{X*:q  
　　cos（-α）= cosα N*U WEwL  
blLsdPG'L  
　　tan（-α）= -tanα WO[No X+  
~&BkEe\#"  
　　cot（-α）= -cotα {%Ku @$I  
Lv`SM1! gN  
　　公式四： %jl3RUF  
Refb|a:4  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： c~LMx1P/  
ZlnYu4O  
　　sin（π-α）= sinα +a9*7J-  
bnZ&X]GA  
　　cos（π-α）= -cosα  |M3"  
x+FIGSW_  
　　tan（π-α）= -tanα 897b>SS6  
dZnBO eZ-:  
　　cot（π-α）= -cotα c<YJ|  
[FQ %: R'  
　　公式五：  ]MP@&#N  
iu8+[/5;N  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： &x\*z5A'  
<Pp?TlW'<  
　　sin（2π-α）= -sinα c]x.MH+ib  
o`X _Jt  
　　cos（2π-α）= cosα %?+)dh  
JA7mwh IR  
　　tan（2π-α）= -tanα \Yj ]l4  
J}>nV0h  
　　cot（2π-α）= -cotα cL"*i8.  
Tus- Y8[/1  
　　公式六： {\TZ job  
8uy&zpD  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： uW. }  
26IG^>>;  
　　sin（π/2+α）= cosα q ^^Fe  
8Mda4/5  
　　cos（π/2+α）= -sinα _3`*.F]  
_=~UI B  
　　tan（π/2+α）= -cotα `D!p99 k  
%nwlP^WL  
　　cot（π/2+α）= -tanα l[Fw@(.s*  
*EJd6a/"{  
　　sin（π/2-α）= cosα 8Y1?ZKjE  
bE/<,r*[  
　　cos（π/2-α）= sinα Cd!a#b vz.  
{ ! ] v~'  
　　tan（π/2-α）= cotα ^ZE>ll )  
|HUJ^  
　　cot（π/2-α）= tanα Na"isw1F  
NID/]q5  
　　sin（3π/2+α）= -cosα *t[Z*~rf  
t )GDpG  
　　cos（3π/2+α）= sinα r4 #"pO  
qHRt|^   
　　tan（3π/2+α）= -cotα +z6/OKjG  
wd\g>>XLn  
　　cot（3π/2+α）= -tanα L>}.(3*2  
RYzRH*z  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Y+zKyeM  
Cd F`.$O  
　　cos（3π/2-α）= -sinα /nWszz2&z  
V}5 z%v5  
　　tan（3π/2-α）= cotα }T+\5MD3W  
IXWHC%1|*  
　　cot（3π/2-α）= tanα ^btW~5&V  
-g-S{'!~  
　　(以上k∈Z) Pw2>m}l1&  
6 Wl7A_r  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 :F"iOd"6  
,lM9H[A  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = !6YK~,L(  
hl3svA]m  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } {=c'&{R;v\  
O5 SZY`=h  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15812) |  收藏