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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 +=eOZ]L4@  
MK+ g.EGUc  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. N8i_#w`0(  
|="J)d .  
　　1、三角函数本质： ,S)i0y  
"q+,OStb$}  
　　三角函数的本质来源于定义 *``YtYDK  
~"K}pUj=  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 |d~sy1  
FRt 6hN  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 =>{x%$C  
'kDm$, W!'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： C;0n!}@S  
$F<EO  
　　推导： W9L`1M  
LXQ;N_U~T  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 g3x q  
|D#h#'m  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) nq={^;g*  
+Na#rS<B  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) #3^XX6NWn  
L>^l[k'@  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 LLnTA$ka=  
;f7'|udG  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） DzRaO_1*o  
J:0m1uMvv-  
　　[1]  q!?~E[7  
z@?;*`k;S  
　　两角和公式 |vu<  
h}Bvg\D_Z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB `@=Yv?  
2Jn5pV3H  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  as;gK<R74  
kIe`(]  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ?[sgy[b  
>T;OzP$>U  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~vVJf]z  
`e7b1('J  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) d#R/<kc  
y X3<G/  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cnQUb0A hp  
XWY<'|[K  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  p .:kO_M  
[(.0lf  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) _u>Q*A  
r 7^Y L  
倍角公式 f|rHUx\v  
@bT.*j`x  
　　Sin2A=2SinA•CosA j_<%/-=f  
ZCyj',k  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 7<}' (S#  
<3I- +f2Y  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |K_BZDCS  
d m!`kK  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Xi)6UV0  
>fa}SgX  
三倍角公式 /7_i.j_G=  
v} #},\Qn  
　　 n31 VlO m  
0.b_bq-z  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) P OWB<=v=  
W"Qc<,  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \nb%KW|  
u:L8Ky f  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) WI+]3UCB  
fl"8?{j`  
三倍角公式推导 ocg7;t~N  
@v($wn gw  
　　sin3a R[1weOt)7  
%S2TpOV  
　　=sin(2a+a) $Q OH^v  
_~,w3[:s1{  
　　=sin2acosa+cos2asina f_y o*&2  
VCuF^6O*  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 2"$a)D(  
kA+V@/)4  
　　=3sina-4sin³a cahp$U#8L  
;xKL2dEZ  
　　cos3a ,->Gxy  
#260!z  
　　=cos(2a+a) n)4^ +@  
Qu;6 (AZ  
　　=cos2acosa-sin2asina 1e}79@N<  
%F'ak[iE  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Ku`B5)Y;=E  
jP&{Nk%~  
　　=4cos³a-3cosa 8O+kWk  
FhT  Lw:  
　　sin3a=3sina-4sin³a g#TT4+_wc  
;c37rSYl  
　　=4sina(3/4-sin²a) P> z j*k7  
D:IsoUuh  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] E 4!z@;LY  
5: T^~p$|  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) nJ1yMCd@^  
+>p; f  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) $ V|!OZU4  
'5gi_ &W[;  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] wBE.-Lm  
z97mH9Tx  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) -Taq^  
}cl{-;+g8  
　　cos3a=4cos³a-3cosa d:U'lFVXc~  
'3h?md\5  
　　=4cosa(cos²a-3/4) n;%0{[HT9  
kaG=xJ  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 6_1tK+*\t  
yAl= cL  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) f6p*w3Ka  
YFptNh_}2.  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) w.z k@Yb  
hs af  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =36v2YMt  
iAuyNd  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Ffs3w+"  
XJp|fuyfQ@  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] "8S;M N  
n>.?Eb@$k  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] G#1z4VP  
v)J-A  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ` a'A4t"  
2LxV>L  
　　上述两式相比可得 _6C2dZ  
.gehV%;i  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) tC Q(FZ  
{j]<bx7  
半角公式 !/-E4^c+  
]W20|@-Nk  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); vv|oc#O  
vx8%nJsCL8  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ,=8E N3tf  
nWYF2M bs  
和差化积 b yV?S^  
YS1e(RBa*H  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3.ODv"fp>O  
qYppl SHU  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] EF I`4)AC  
oUenLSnkT  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] GS ^9'b  
"}J^_ #J<A  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] F;[^;ABg  
sUeK!12^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) zv2:YC#  
N5~pUF<  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) "Ct)!Y4"C  
`= @MP1&N  
积化和差 `7.c_j;  
]t,50ix  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Gql5= 92  
sM5 ,e,  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] xO@%'}i[)_  
D9.*B,8  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] K80^4PHY<  
ywy7Q[eA  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] bV&*j&IJy  
(p-KxT&9  
诱导公式 UWi$!f/  
,,x,iW5  
　　sin(-α) = -sinα 1_%b70p\ %  
DImFl%  
　　cos(-α) = cosα ,k@m>w.-  
&&z ~3(}  
　　sin(π/2-α) = cosα pz [\c  
ME_"F  
　　cos(π/2-α) = sinα q(Yx!l0qu  
6D_ssC#s  
　　sin(π/2+α) = cosα e=35kWiK  
~m 7L  
　　cos(π/2+α) = -sinα IbK5:>>E  
O+d0% _  
　　sin(π-α) = sinα V0wa&G  
I?$AY_  
　　cos(π-α) = -cosα W-r4ZAZ6KE  
\n.%T-5m?  
　　sin(π+α) = -sinα 5PQGvY}K  
oe p}+H/m  
　　cos(π+α) = -cosα [xC   
cs muQT  
　　tanA= sinA/cosA CVbmFlf  
a'_&7F  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα y2OUGlZaq  
,)"j^,YRs  
　　tan（π/2－α）＝cotα fGQ)lfzQj  
A\ZVP_oyM  
　　tan（π－α）＝－tanα [1kN|')4  
_ o@jUUS1  
　　tan（π＋α）＝tanα 9EcrEP2{  
]%W"}o:Jv  
万能公式 [qx P0w;f  
ucTb;B`\  
　　 \2 _Y)A  
FVJ? .0L  
其它公式 /muT!0`;.X  
'b+F,cvgh  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 e6WMMJ\.  
C!zi.v  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 o0. bwg  
:C=Ue|f  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 z7hse_2  
'?: hbRe=  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 MZd;:x;j  
eJW_T fp  
　　对于任意非直角三角形,总有 9cY$ NC  
XdVu-xF  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC bS7M8Z @  
Q*@" DK=5  
　　证: qWi+ja}n  
Hr#t?i)u  
　　A+B=π-C k\xBq%UBpl  
:%m;?^  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ,#?d$=?"S  
u0 <>K?v[:  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) R$8"7^  
y;7xs[r*H  
　　整理可得 t[ `/ x  
jSy(y/7^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (/-XT:H  
1c'#Ys  
　　得证 e`*UNUh}  
$+* G*Tg  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 @PP6 A  
y;,2SQ S  
其他非重点三角函数 OS LX}1f+M  
D&$0Zb  
　　csc(a) = 1/sin(a) Q*Y_d'>  
62[7`b?(9  
　　sec(a) = 1/cos(a) :9'^}_]  
NMN"AyJ&>  
　　 )lw<bM'  
i\+Rx8y9y  
双曲函数  ^1;+gP{v  
MdwYaW  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Ns6S>~J8:  
MV J{ov  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 K4-nKk~*  
DH419XB  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) "{ R@[~IB  
)E hwkIiz  
　　公式一： wkU"_$3  
9][r$ H  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： WWN.S1Y  
B>*bOd,  
　　sin（2kπ＋α）= sinα RmdD$M'n  
Fk9GJ*Qp,  
　　cos（2kπ＋α）= cosα x}C4ii~s0  
+A / >T$  
　　tan（kπ＋α）= tanα q1Ol[1,6\  
p'bqf%%Zl  
　　cot（kπ＋α）= cotα tn.,F!  
`x<>Cz~=  
　　公式二： >=#`|9i?0  
@Lt_i;;  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： s\ySPx  
rB&^!0@  
　　sin（π＋α）= -sinα u2TO-YK  
.(>ZT,#  
　　cos（π＋α）= -cosα k)NJ&n5  
WV]vf  
　　tan（π＋α）= tanα S,n,gYo  
[;cE5/ X  
　　cot（π＋α）= cotα ~'|jUkYwM  
;2+ Q=Y   
　　公式三： @ D ,'wJ  
p&hm+RE  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： WsdlS8'Z  
#a}f/<"  
　　sin（-α）= -sinα uHOf\ym  
d,,OS)]  
　　cos（-α）= cosα <!.hQ?kE  
yR ~]n  
　　tan（-α）= -tanα <Q8su$]  
pAFA'X Vp+  
　　cot（-α）= -cotα gM,i%+ rE  
hGjXC|t  
　　公式四： i(b"|C$  
a!meK  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 7l<neVU(g~  
rQCWJmpJ  
　　sin（π-α）= sinα zGAqUICbh  
srUxtayV0  
　　cos（π-α）= -cosα NOF{ EtS  
!R hng)5M  
　　tan（π-α）= -tanα B~u.|Fpwz  
rn ThEj   
　　cot（π-α）= -cotα l8= "U@A  
]jxLYMu  
　　公式五： Z~r KZ9  
$ .h  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： S)w;C"v?  
DtOvW{L  
　　sin（2π-α）= -sinα c K=M%D^`  
-'DvDO(  
　　cos（2π-α）= cosα `3<+YNc7  
s)<L A=6  
　　tan（2π-α）= -tanα A e m@  
V09"w?f  
　　cot（2π-α）= -cotα _+^ u3-B_%  
O=.'Nm_N  
　　公式六： K"R':~ hP  
wi RO]!  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： -1:gS I!  
?yXb%(  
　　sin（π/2+α）= cosα O9?HI^kTWW  
c<C1C~/  
　　cos（π/2+α）= -sinα z2\r)>H:.  
g~ !e=  
　　tan（π/2+α）= -cotα CS}"iu  
})sTN 4mi.  
　　cot（π/2+α）= -tanα 8 _!Tf  
5a%,u0H(@  
　　sin（π/2-α）= cosα ~e%o[:  
\Vq% {  
　　cos（π/2-α）= sinα NQpP ,S  
=rr"cyds  
　　tan（π/2-α）= cotα k#d9S|E+  
%M<BvmC%.  
　　cot（π/2-α）= tanα 9Ejq%jQz+  
V&Br9,1  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 6x L|9>*(g  
L87'dXtFH  
　　cos（3π/2+α）= sinα sLn%'j$  
+ xcI!,  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ]BX1o6w'X  
\;&n`!){^$  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 9_nH>r IJ  
|& m5|  
　　sin（3π/2-α）= -cosα i O-i)!<  
`Jt Z=~6  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 6%,3gRxQ.L  
57)qiKM  
　　tan（3π/2-α）= cotα V V6(&f1\  
8`aJW&}!  
　　cot（3π/2-α）= tanα i`QGHs;@  
,j+TGJ  
　　(以上k∈Z) 0tXhXEu  
[f@O's`x  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 xOmvh3KfW  
^Be(es*@  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 7=X{AvLQg  
|.1K  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } m,"3[o^ID  
b sq4~u{  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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