三角函数内容规律 ExWb
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CQ&Alh3 \
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.
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4d
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1、三角函数本质: m=QRoJL-1
(z`4Y{Dsk
三角函数的本质来源于定义 "oUisT
3d9!ER2
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 !COd4y^KB
og{&|%
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 s0t._
H9;
N(<P--m
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: \9U9cwP
ZK,kk.u]a
推导: Svf9~w<v
][c$>x={^
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 KoDe.?Ye|
D:4I*JN{
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) G:9W Gx
_dD66Tui;a
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Glbzj}*M
mR%$jI:x
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 n7]Y<}pDi
cc;f'-XO
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) jH4J n:$Q{
.7OJa<]*
[1] XN NT[HL
uY,VXy
两角和公式 CF)J
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\M:7|S*U
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
I9SCA
>OI=32?2iw
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB mz3WPqk*::
8)(K GZd
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB s 8[,U@B
dUOXX*cm
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB RXP(LWk
^0]R`:7*r[
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) [<^!P"w7*'
#[@ bB:U
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) K6:<G
p8E,X=]
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) EHnH UP?
*Pg&<8LT]
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
*:zv`L
-NNX!N<B3'
倍角公式 ah)qm)
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Sin2A=2SinA•CosA rj|_T1N
xj<@M;XA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 39o ~-0#o
\34?\hJ$i
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) xMdu~YU0
Vz|yimSIB
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) u{f1pNfLm
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三倍角公式 CQ) wowT
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;WBQ06>9w
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 'ruL5\C}]7
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cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) k\HKW]0&J
[,DLcm8
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) KQ9:mC
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*NTV
三倍角公式推导 81a Y2Lw ~
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sin3a <DmVvZ-
M[C9|2mG<
=sin(2a+a) gv,F>}R%
O37u{P[}
=sin2acosa+cos2asina e'Jih1c@
G X|vhq
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ^k|\~O[EA
9ZZ0m2cTh
=3sina-4sin³a AFx)ca sZ
4wU&0E8
cos3a hqcmi;A"D
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=cos(2a+a) Qyqu
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g{PsS\[%,
=cos2acosa-sin2asina F^ =c/q`
4[38kr#v;
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa !QC#ki
E{ihg0oU
=4cos³a-3cosa :
>|l"|.D
]xuWq60
sin3a=3sina-4sin³a ;cP1I
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=4sina(3/4-sin²a) FGxWv%n;
/L6`36=
=4sina[(√3/2)²-sin²a] wn(4 ]i\
BSUByB
=4sina(sin²60°-sin²a) sfg'zPYM3:
U"2e<:f
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :b0=i$+
e
4e8y1/{x
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] A<z18T B
@vkYX*X
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) _?L22lS^
,Vo"~]!15
cos3a=4cos³a-3cosa {,o2i0
;U*{9y>
=4cosa(cos²a-3/4) *8)E~^$OJ
9">.0+wL?
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] k.3T-;
<C}LeZF|
=4cosa(cos²a-cos²30°) c5gpp}6PB
OX=lZGg5
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) NSL%wMq/9
;nX6/ /
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} xK1B# }I
ju%|C
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) T1c W&
(kzq(q{
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] >MdLzC*JK
BF\`QS7Q
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] yM:6}HJZ'
)
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=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) k|*7Mg9~
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u% [J
上述两式相比可得 }^K$rji
}C5$Gm]!
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) fAzpFVCd
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半角公式 :dbHn9
;((j[hG
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 7\<] y;
e$@*S>,
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. GFsS, BzH
+AGB]jxi
和差化积 ?Mg;.?=mu
!}x}Le$el
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Wd9. k{:K*
IxRm86uo
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] %{&3[B0[D
JHv d*k
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]f`zvX
8Q`d@<_1
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] qj^,2ER
6LsV_R:s
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =EE82Ga
)2fxrw2\
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) c}`J hI
O4a$eCu
积化和差 ogMu(9~V
sT Cu
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /plGkxB5dh
8YDE/17
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] -TL[D"u
7&!+S70j
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] %BsBz3?] a
n'WhT
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] "ZAe;)fl:
*O{'B@4
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诱导公式 @0s(~
4
3pjmB~D
sin(-α) = -sinα |:T Eu=X~`
u9Q.mri:
cos(-α) = cosα A]j7``i
S4#bw]J
sin(π/2-α) = cosα 8]q wQ BL
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^D!6C
cos(π/2-α) = sinα k*c-|
9 W+[zF QX
sin(π/2+α) = cosα ")eA36,w
>~ B}.}0'
cos(π/2+α) = -sinα kp+A7sk~
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sin(π-α) = sinα 0=/]9_G&
`X B!{>
cos(π-α) = -cosα )]eN/~g{6
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sin(π+α) = -sinα G8> .dPs
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cos(π+α) = -cosα 9dJdKn4T
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tanA= sinA/cosA g+ikggJ
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tan(π/2+α)=-cotα #QJrMu.=
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tan(π/2-α)=cotα ;"IeR\g
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tan(π-α)=-tanα Q4#j|ltpD
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tan(π+α)=tanα j8P|
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万能公式 f
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其它公式 ,X?-sr
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(sinα)^2+(cosα)^2=1 *;jn]l
yGvMHt7]
1+(tanα)^2=(secα)^2 (9\{B+.Nz
/X| B?Ur'
1+(cotα)^2=(cscα)^2 +GKc\cGEf
vW?f5{Ma
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,6 OAH;$
?>P)? 0(/^
对于任意非直角三角形,总有 jhD=#~wl
63"
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tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC QvAs,i?H2
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证: 1 I N
d)oF$H:
A+B=π-C 2PSz:>IV]
o,S/([@H
tan(A+B)=tan(π-C) UK(m"q4d%
j!_,vfr;
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) u`jaTl{
8/uX5H}4
整理可得 vk70Q5
e]7S|'fu
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC kZN@N&
v?j!, y
得证 W79 Z#nIv
k1<N5#]7N
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 BI& |