日历

2025 - 3
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031     
«月» 2025 - 3 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ExWb  Jj  
CQ&Alh3 \  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. $MCghF  
4d ;A \s  
　　1、三角函数本质： m=QRoJL-1  
(z`4Y{Dsk  
　　三角函数的本质来源于定义 "oUisT  
3d9!ER2  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 !COd4y^KB  
o g{&|%  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 s0t._ H9;  
N(<P--m  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： \9U9cwP  
ZK,kk.u]a  
　　推导： Svf9~w<v  
][c$>x={^  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 KoDe.?Ye|  
D:4I*JN{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  G:9W Gx  
_dD66Tui;a  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Glbzj}*M  
mR%$jI:x  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 n7]Y<}pDi  
cc;f'-XO  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） jH4J n:$Q{  
.7OJa<]*  
　　[1] XN NT[HL  
uY,VXy  
　　两角和公式 CF)J >N  
\M:7|S*U  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB  I9SCA  
>OI=32?2iw  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  mz3WPqk*::  
8)(KGZd  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB s 8[,U@B  
dUOXX*cm  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB RXP(LWk  
^0]R`:7*r[  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) [<^!P"w7*'  
#[@ bB:U  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)  K6:<G  
p8E,X=]  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  EHnHUP?  
*Pg&<8LT]  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) *:zv`L  
-NNX!N<B3'  
倍角公式 ah)qm)  
z>#&!  
　　Sin2A=2SinA•CosA rj|_T1N  
xj<@M;XA  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 39o ~-0#o  
\34?\hJ$i  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） xMdu~YU0  
Vz|yimSIB  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） u{f1pNfLm  
7*irdO6j  
三倍角公式 CQ) wowT  
:Z@oZ6A  
　　 epy9paY`  
;WBQ06>9w  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 'ruL5\C}]7  
urzF?~  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) k\HKW]0&J  
[,DL cm8  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) KQ9:mC  
69?o *NT V  
三倍角公式推导 81aY2Lw ~  
!\KA!EO4  
　　sin3a <D mVvZ-  
M[C9|2mG<  
　　=sin(2a+a) gv,F>}R%  
O37u{P[}  
　　=sin2acosa+cos2asina e'Jih1c@  
G X|vhq  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ^k|\~O[EA  
9ZZ0m2cTh  
　　=3sina-4sin³a AFx)casZ  
4wU&0E8  
　　cos3a hqcmi ;A"D  
.$@l&~$  
　　=cos(2a+a) Qyqu ;FG  
g{PsS\[%,  
　　=cos2acosa-sin2asina F^=c/q`  
4[38kr#v;  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa !QC#ki  
E{ ihg0oU  
　　=4cos³a-3cosa : >|l"|.D  
]xuWq60  
　　sin3a=3sina-4sin³a ;c P1I D  
{'';yfNk  
　　=4sina(3/4-sin²a) FGxWv%n;  
/L6`36=  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] wn(4]i\  
 BS UByB  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) sfg'zPYM3:  
U"2e<:f  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :b0=i$+ e  
4e8y1/{x  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] A<z18TB  
@vkYX*X  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) _?L22lS^  
,Vo"~]!15  
　　cos3a=4cos³a-3cosa {,o2i0  
;U*{9y>  
　　=4cosa(cos²a-3/4) *8)E~^$OJ  
9">.0+wL?  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] k.3T-;  
<C}LeZF|  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) c5gpp}6PB  
OX=lZGg5  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) NSL%wMq/9  
;nX6/ /  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} xK1B#}I  
ju%|C  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) T1cW &  
(kzq(q{  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] >MdLzC*JK  
BF\`QS7Q  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] yM:6}HJZ'  
) uZ{vj  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) k|*7Mg9~  
5 > u%[J  
　　上述两式相比可得 }^K$rji  
}C5$Gm]!  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) fAzpFVCd  
Jk$0:6o  
半角公式 :dbHn9   
;((j[hG  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 7\<] y;  
 e$@*S>,  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. GFsS, BzH  
+AGB]jxi  
和差化积 ?Mg;.?=mu  
!}x}Le$el  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Wd9. k{:K*  
IxRm86uo  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] %{&3[B0[D  
JHv d*k  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]f`zvX  
8Q`d @<_1  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] qj^,2ER  
6LsV_R:s  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =EE82Ga  
)2fxrw2\  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) c}`J hI  
O4a$eC u  
积化和差 ogMu(9~V  
sTCu  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /plGkxB5dh  
8YDE/17  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] -TL[D"u  
7&!+S70j  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] %BsBz3?] a  
n'WhT  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] "ZAe;)fl:  
*O{'B@4 f  
诱导公式 @0s(~ 4  
3pjmB~D  
　　sin(-α) = -sinα |:TEu=X~`  
u9Q.mri:  
　　cos(-α) = cosα A]j7``i  
S 4#bw ]J  
　　sin(π/2-α) = cosα 8]q wQ BL  
^ ^D!6C  
　　cos(π/2-α) = sinα k*c -|  
9 W+[zF QX  
　　sin(π/2+α) = cosα ")eA36,w  
>~ B}.}0'  
　　cos(π/2+α) = -sinα kp+A7sk~  
:iHww\Y  
　　sin(π-α) = sinα 0=/]9_G&  
`X B!{>  
　　cos(π-α) = -cosα )]eN/~g{6  
 ZC7Sr  
　　sin(π+α) = -sinα G8 > .dPs  
{Hzb`~Dx  
　　cos(π+α) = -cosα 9dJdKn4T  
0 BR)4`,  
　　tanA= sinA/cosA g+ikggJ  
YA:d  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα #QJrMu.=  
D`i%71)  
　　tan（π/2－α）＝cotα ;"IeR\g  
XvN6Sq  
　　tan（π－α）＝－tanα Q4#j|ltpD  
&RJ3v  
　　tan（π＋α）＝tanα j8P| {OW  
@n1SSp  
万能公式 f W,5*Ma  
{NW~_ 2#  
　　 gq79|VD!hu  
1eqU>  
其它公式 ,X?- sr  
eA/-IL5lq  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 *; jn]l  
yGvMHt7]  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 (9\{B+.Nz  
/X| B?Ur'  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 +GKc\cGEf  
vW?f5{Ma  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,6OAH;$  
?>P)?0(/^  
　　对于任意非直角三角形,总有 jhD=#~wl  
63" _WV  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC QvAs,i?H2  
*uHIl!%  
　　证: 1 I N  
d)oF$H:  
　　A+B=π-C 2PSz:>IV]  
o,S/([@H  
　　tan(A+B)=tan(π-C) UK(m"q4d%  
j!_,vfr;  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) u`jaTl{  
8/uX5H}4  
　　整理可得 vk70Q5  
e]7S|'fu  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC kZN@N&  
v?j!, y   
　　得证 W79 Z#nIv  
k1<N5#]7N  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 BI&jZ3-N  
o+%hm f  
其他非重点三角函数 ^:}V ,;P.  
Q wd1nmh/  
　　csc(a) = 1/sin(a) ~C,( -  
(P9TR g  
　　sec(a) = 1/cos(a) A``\wK|  
0?_:1GIa  
　　 6Cm!CF l  
!r*r"1YC]k  
双曲函数 x [%0#8$  
7@93o MP  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 US:P<1K  
i9^1;i6  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 dq_m/Y*$  
;& g$fM(Z1  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) +sd ~<sQ  
8@[vKv4v1n  
　　公式一： J!sjYe6^  
*` B]C  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ez@7pb6c  
vZ\Z/VN-  
　　sin（2kπ＋α）= sinα {yjecTm!  
V@Z7hsNd  
　　cos（2kπ＋α）= cosα FouhBt:  
YlVyBAO  
　　tan（kπ＋α）= tanα l rOIm *l>  
<x}%7P ?@x  
　　cot（kπ＋α）= cotα ^kUvb8h  
6Qb5]|  
　　公式二： rsS24j  
Cz S2zP  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： %= e{/_  
,[agZntk  
　　sin（π＋α）= -sinα w<y \V!yEm  
rS}&]*de9  
　　cos（π＋α）= -cosα *hH3u$_?  
A.b+qNO  
　　tan（π＋α）= tanα 1"F)JU(K  
o6wj J x  
　　cot（π＋α）= cotα 6NVH '  
!BjzZ`  
　　公式三： Edsy$~vp  
DY9g\"SSrz  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： P`ME^4$  
) bN3Ci{  
　　sin（-α）= -sinα @q.vHWL  
l;7k(M5s  
　　cos（-α）= cosα )ABf?Nr  
]:12/@Oz  
　　tan（-α）= -tanα Wy:U{79dF  
a_~F/IiuE  
　　cot（-α）= -cotα H(PK.2.  
k !;hj   
　　公式四： [')6,"  
]Tmw 3x  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： cuM{jCG `>  
5i#.MU2  
　　sin（π-α）= sinα d#Au!"1(  
m+Or   
　　cos（π-α）= -cosα ia 8j1,v  
|Bm&|"4  
　　tan（π-α）= -tanα P7I29NjGH  
!~y/D<mU:  
　　cot（π-α）= -cotα Rd TKf  
qPPKl u3  
　　公式五： \EQ'hVEx  
<]D`}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： -!L,`Q.  
q39Iqqd-  
　　sin（2π-α）= -sinα wGhA0~_  
yw{TC$  
　　cos（2π-α）= cosα ,JK\ R&  
L~"=A 7SU0  
　　tan（2π-α）= -tanα mYFMY;R=  
{,a,V$  
　　cot（2π-α）= -cotα /vmAmihk  
[AAAQh9  
　　公式六： D8e h^s9  
('OmszB"  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 'G9WIIS  
/ _wh <_p  
　　sin（π/2+α）= cosα Oq\!;8(  
p7V>3wRFA  
　　cos（π/2+α）= -sinα ~lg6*;8]*h  
KTH>M z'  
　　tan（π/2+α）= -cotα Tvg1Et)N  
NN8<-gXa  
　　cot（π/2+α）= -tanα (b7keit\Z  
]`;YR+]  
　　sin（π/2-α）= cosα 4jQ{[l~v  
3%gS>T<p  
　　cos（π/2-α）= sinα X<{Qv2\  
^oEVodEKR  
　　tan（π/2-α）= cotα {\"Etg>|R  
AP.]s.5  
　　cot（π/2-α）= tanα n^lij"!0  
OD(~Oesx}  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 7{a(ikA>w  
22({O  
　　cos（3π/2+α）= sinα L t5\s{  
OQ?Kwo*9  
　　tan（3π/2+α）= -cotα @]^xf(*B  
wJU$\<H{@  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |< tB^*  
5v4<L  
　　sin（3π/2-α）= -cosα uH}uQgu{  
>DUk tap  
　　cos（3π/2-α）= -sinα N9N!6{TCL  
A6[#]2{  
　　tan（3π/2-α）= cotα la{I3 oO  
*CK%jauP  
　　cot（3π/2-α）= tanα :&& ~1n61  
ZGS"[{>  
　　(以上k∈Z) '>"f]d9'N  
m? >,3Z`  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Xs/l D  
(crKBe"=,w  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = p!ST>Z8`  
*b`}C4K\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } j$;4w.)0|  
MIue(5  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15807) |  收藏