三角函数内容规律 DfB,\
{Sja-y1!\
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. .8q1MJaL
~4+n)c
1、三角函数本质: c>=~ned
~U/NV#DVS
三角函数的本质来源于定义 `/v]yWB
zlIZl|
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 >aOdy>rC
+iwX(_J
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 PG{+\#lbq
J`1t5J:[
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: N
I{.Q$
mr =w
o`
推导: a@lW&S
>{I/u
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 e+9Q~(.~
f9ZQy*s"
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) vf^g
Kd>
Qz@xGs$
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) bONja =
gnMch
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 xrTdz4?[O
"w_u0vF
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 0lp}sTA}
7h` C[
[1] A&o76A!'T[
uW8
`Y
两角和公式 b }Q|PUp
To~)&Ft
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 5CpN
K9!;
"$?1aq,
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 6ATmgU+
+fGj.^J4"
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB //+)C{l
8}[:~@mi
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB n(`0*8?
Bu]TNy[U7
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ObeUFU>DS
i--fY R
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) }>alO9N9
H)9jL#YAfm
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) IY|q95una
{~OVH,N^M
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) .r!?a4hH
e,oD5A>
倍角公式 8Mda{}c
^HcvOV,R
Sin2A=2SinA•CosA ]C3>(R y
o^ PkI
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 \>3/ i
gFyZ*hTg
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) @*o()`
}UXSPP
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) Cc46GjfG&
J$Clrx{
三倍角公式 J% s3`@'
Od;
]}8e
]A(/Ei'
ss'=j6A
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) L$Wx.)U>[
M$!:uqD|
r
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jbP+2o[
-/f4sLeT
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) O\NnHD
QX 9:Ttd)[
三倍角公式推导 i'u|WcoIX
>v1;0
sin3a 6"f~iRK%
T:JW?91X
=sin(2a+a) xfs ,E%
F2xkZ, CA
=sin2acosa+cos2asina k#FFiv ({
{
B'zHR|
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina pqc!SA?B
f[#(=
b
=3sina-4sin³a xCzC?Eya
VjM .3}q0H
cos3a zC1F*9%J
w9Ad FZ{
=cos(2a+a) !!AoE
2qqkfv'7
=cos2acosa-sin2asina 7HZ<=s
4 d)~K'Ny
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 9;bVQYQ
YJ{pPO2
=4cos³a-3cosa 2ly>Z6>YP
2Bop
^F~
sin3a=3sina-4sin³a .m<1AKMq:
,v>!#'
=4sina(3/4-sin²a) K,w2+-KY
wzwz
jsM
=4sina[(√3/2)²-sin²a] G|RcFZM
f2OgA=@v
=4sina(sin²60°-sin²a)
Z+-3
F?
'48Dlw
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) /5n}mgM`%w
$%+b{/m
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;$
+ |
1^R3@W9
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) q%cus@
$ @K}K}
cos3a=4cos³a-3cosa m
1uS?yP
*OMkYmr
=4cosa(cos²a-3/4) d[)Vw>Zw^
NwlAVd@/
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] cO[s((h/
O12
=4cosa(cos²a-cos²30°) P,{
:1%3y
,bLHv7
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) s3] 0#dn
sNyYJ}8
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} {H89?b
n(Z%3Qk#
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4P1hIo[
JfM8~aNQ
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =_<RHVu6
LycaDWM
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] +6m&n|#^~
!=
Q=)Xz4
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |@I7KE
YcH>&1HBK
上述两式相比可得 Po!}r8
Y#j~$c
^
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) X=MpM&
g]]s
半角公式 9pHLcpT@
| ~3KcN B
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); waTRQi"9
9
'b3T)<
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *e&|CPlh
|-2.`05/r
和差化积 Oj/4va%'
wpHYC8w
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8UjA,w
OdP}#6
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9>3Vv00NR{
T7{-Kd"[m
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] c4scY9jK
C(eYt.ph)*
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <qq'C]s
R#s4(xF
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) .O::rXc
StIxwJe@
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) [BYj=Y*U
uMp00
积化和差 a*qdb6
i0vlG~$
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] +V0K4
iT
;[ 3YcO
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9lD}a&R
2U3K7FR
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] PV^X%znN
Q[75 ]:T\
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] yz&FLBpK
2c"39_Wo
诱导公式 8n73|~O,{
wi
cn{
sin(-α) = -sinα mW_+t=oo
!+Ym8no
cos(-α) = cosα
s[KW)
16("d
sin(π/2-α) = cosα yj>0bo3j
|Iv!QBd
cos(π/2-α) = sinα NQg9S%M
pcj s'.{
sin(π/2+α) = cosα EC^PRc#
G#{IH+X R
cos(π/2+α) = -sinα &^k^
Ub3^a5"sB
sin(π-α) = sinα \-dicU'i
ub1M@,
cos(π-α) = -cosα %%K%.8mH&
?qrfg A&
sin(π+α) = -sinα >87g\V#
#8gs,oy)
cos(π+α) = -cosα {h-,tr'&
$wsT8VAL\
tanA= sinA/cosA ck@#I[R`
#%ttSL45
tan(π/2+α)=-cotα .x)Z~){/
IB7>0
X:
tan(π/2-α)=cotα 8TL'+(/$
%
#) #~7
tan(π-α)=-tanα gs.~+ h
1FY4KhLG
tan(π+α)=tanα '/#<&?f
vGu4VmNv
万能公式 $T&`|5y}
g.=P9F<z
8P3 "54
Zi;6}
6
其它公式 M
F#|Tw+
FkVLlLn*
(sinα)^2+(cosα)^2=1 mP&-?nN~.g
0
PP7)Sm
1+(tanα)^2=(secα)^2 y
L}"q
R[++'i_D
1+(cotα)^2=(cscα)^2 AAYH^edB]
uiQ(U`M|
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 -}4OVHz
ZM*Q~
对于任意非直角三角形,总有 G{13o!{
udc 8#oE&
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b @x5/
kds
OXbVIc
证: ~(~_]Jy
?$y*63=
A+B=π-C 7{09m2
Ba3j{(G
tan(A+B)=tan(π-C) G`LfsSL
K/
pS2
_
i
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) :RXB0[mTz
_ms8/8d
整理可得 }3eg{'_k[
n(|Tu
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC s{1kC6P
7yB
得证 eVQO3~.9
f)lsD$
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 &Jr|p',
0rs#&yZM
其他非重点三角函数 DOt??aH[
M"(=S76x
csc(a) = 1/sin(a) 8|_Fx!d
^~\J,`<;
sec(a) = 1/cos(a) oeG5\ R2'
aU(EkR;gC
H:#hzVPw
KwL%B ;.
双曲函数 "Q
;F@,`
)kl#'+;n
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ]
i*5*HXo8
01}D_:US
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ?nsmW[
,`$L
}xU
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) u\Ez=:3i
:,@\GH)8
公式一: 4CPG$fn4
gs0:_]:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: CyR/4b&.
{s`(z5
sin(2kπ+α)= sinα %0O#r o1
/Tef^1v
cos(2kπ+α)= cosα bzO}%J@n?
|(F|qCx
tan(kπ+α)= tanα 597-]q
5l1%52U
cot(kπ+α)= cotα I=)!rSI2
K>ojh#,
公式二: mbDm:/ree
Y|.? b
z\H
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: !Ol__
D_;I|!sq
sin(π+α)= -sinα e-&Vf/FP_5
B69{3Y T
cos(π+α)= -cosα zgJ/
bqV
ix?UiQ ?
tan(π+α)= tanα g+
+53OM
l/_IKP!dE
cot(π+α)= cotα % qJ8*K
U2 $ozI9
公式三: q(E=/&`i
<Z#<Va9"_
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 6mMr4t gNt
8O8AN-3{
sin(-α)= -sinα .U'=%| =
s$vJ~e
cos(-α)= cosα HqArsu"B
h t }zCS
tan(-α)= -tanα "+{ +UT
X
rdEu
cot(-α)= -cotα J%>PmM&C`
W5h<]z9
公式四: FR2qot
UR*=6qKE
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 0Z]G'n
UJN`_ &
sin(π-α)= sinα FbOk &w^T
2AjTj'(.
cos(π-α)= -cosα 6c@,3-
Kj`K{CZEI
tan(π-α)= -tanα Nk|bIh
bv;u1h+P
cot(π-α)= -cotα b%NRN6mZK
j)d
-k{X
公式五: &$qjB!
-I6jtly;
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ?W,RH}j7
0jB%fE%o2'
sin(2π-α)= -sinα JBbjE
jIK5
62,
cos(2π-α)= cosα -uW/ex,;H
D7Rxx^W
tan(2π-α)= -tanα Vnz,WF8(
F"sRNqWc
cot(2π-α)= -cotα RCc,*|
$ZmsM:v
公式六: 3u5NSA?
ryO9$&c2L
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 8Tok&?(l
T3J `-
sin(π/2+α)= cosα
96.L,, n
On%|6z
cos(π/2+α)= -sinα Lr(">`Wu
\K}3{g
tan(π/2+α)= -cotα ]c1
V]!
Xk):
cot(π/2+α)= -tanα $uQAn5h
oV&2
sin(π/2-α)= cosα ITDg
-D.
.F4}8 $0
cos(π/2-α)= sinα c}Kp=
Lv f5^K[
tan(π/2-α)= cotα Zj,v,)U}
{^SvAGAQ
cot(π/2-α)= tanα 7+oCte^ @
*68O$<7ly
sin(3π/2+α)= -cosα y}fR
$]s,BlUM?^
cos(3π/2+α)= sinα (rK a2*
GG^&}!e*
tan(3π/2+α)= -cotα X:Pq3EPL
{d/`%~
cot(3π/2+α)= -tanα YHkjK$-n
fh8ZV
52H
sin(3π/2-α)= -cosα 8_U7,wv
<
@Jv[Z=
cos(3π/2-α)= -sinα &"S96t
_'`
&LF.D-6
tan(3π/2-α)= cotα 21wlvefU1O
C/= (Pp
cot(3π/2-α)= tanα P0&j4ZB
) O>BsGV
(以上k∈Z) B&B,+ 0oL
41"]9U
W+
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ;VWnL:1}
W 4
>DWB
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Ye.$*
^[
2`=]F9 t
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 6e-C:af+1
q4Fxk
UG
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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