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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 zv na1A-  
WHt+"x`z  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8^7@itG  
;[ 7?39NN  
　　1、三角函数本质： 1@D,6e  
9`u;   
　　三角函数的本质来源于定义 .Omcx)8  
j=U#6m$[(^  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 j _lDr6c  
~8*<<=$ _'  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 mfDrU6H/  
O~^-5M>dX  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： m|M."gM{?  
LOb}(~r  
　　推导： L_hQW,W  
$we=GVu  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 =k (JXRZP  
8O&^Ig  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Q(wwDr N  
ZW^JFY  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) dzkPHy&  
J6.-}1I.o  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 D Y"Xr%J2  
RC8:C}?G  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Q2fp,z#+"  
26&'dwe  
　　[1] q|@Npf[[  
{n{rD| -  
　　两角和公式 z#Zv+IB  
? "a!7vs  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB kjV^]!'UE  
kw5 AI'H%  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  smz`+O?0`  
F) t[ UGtA  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB MxhY W #  
!wAjyRV(^  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB (P/<PWJJP  
?-c7=D3 n  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) WXP!A%KF  
Ah:  A  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) C'r<.odZs  
J8bgcy]5  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  {f) T#NF  
>&Vo DI!G  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Z|.t87LD  
!o/g2aw  
倍角公式 !{VG|.b  
9efq8LJ,  
　　Sin2A=2SinA•CosA )_DqVGS  
YMk]'LN6  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 vi5gxuD 7  
H|8&xWl  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ~H<M]@k  
Qb^NQH\6>  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） >/Lb7N"$m  
uYyM@l  
三倍角公式 /qk8@F~ :s  
X{RS|(_I,{  
　　 zT6;4=EQU  
"1mXCVD  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) a>f+Y6L  
NhVz_#  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) }!5_~h.X  
7{T ,,*e  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) hs2\Gd  
rojc5aEk.  
三倍角公式推导 fgZ1[erz,  
"?F,dCdGs  
　　sin3a RL|Fs"#Qb  
&BD1\M Vf  
　　=sin(2a+a) KP*]*B|@   
{Ta~3i+z  
　　=sin2acosa+cos2asina l<$umC^/,q  
[7tK;R~-  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina IhY pO'  
~MPiOF3,6  
　　=3sina-4sin³a m3X8HmZp  
w'<C_K5O  
　　cos3a 3Kru6}i  
96?8vN s$  
　　=cos(2a+a) Bo5Zf%Y  
7vDuL@:h  
　　=cos2acosa-sin2asina 7L5_Ay=-  
({FlT*  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa -8IQ}b^v5n  
fFH~q O  
　　=4cos³a-3cosa O)MUFN  
828X W  
　　sin3a=3sina-4sin³a I ML"1(eB  
|qo@ sv  
　　=4sina(3/4-sin²a) ~7sj}O}  
Af8a )q%  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] x"P[!g5$0  
6n&]M F1]  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) aq8J::OFf  
fE&"X  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 'Rd g;$4g  
|/`n^`U\u  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] e[A*pj b  
 Fq_ h  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) RY0%l7t)  
d1,)Pc'  
　　cos3a=4cos³a-3cosa f D2~>g8">  
VjEyDB ^wy  
　　=4cosa(cos²a-3/4) eQ?!KP3  
^Wt+h_  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] \V- ` -  
G~>ta Nh  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) IqNa4R 3  
S?_FfQ  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) z~}x4~G  
"{vbKk  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} :AZEto  
.:nmPe  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 99W@ |Xan  
H)YR&[  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 0H*JF,q  
.d2+e}1Pr  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @3v Ce  
&pvQ'?  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) U<+4j#*  
9F+*idzKf&  
　　上述两式相比可得 q{XFX_  
dK^7=*Nc p  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) pH^AW.7:#  
aXFBDDLr  
半角公式 B6N'rh!+  
<_!5pZ"l  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); S17=Dw=  
oi2E }1Mt  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. {s5F%fr  
d52ZELo  
和差化积 @8G0AEA_D  
V*V;]L+#_L  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \cnKT]jq  
T|ci58  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] o; nVl/  
<%{<9a+!  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] gjGnoR+L  
er^`:-0X%(  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Aj6B[07  
[`#zaH#\  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Yu%\ik+l)Z  
FnA$xF 6  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) U iCO#  
UH6()b^]  
积化和差 }>dn-0G\+5  
3c+O1} !w  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Wd'Sg3se  
ta7eK"/  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] #a]!aJje(  
@ut)<  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] JL7+qY~Dd  
i3VDvbu9  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Dpf<(/+i,  
4e0x2":  
诱导公式 xx=^\Wnn4  
HhO`5)  
　　sin(-α) = -sinα VR<7]*\N  
qgJ<vL  
　　cos(-α) = cosα 8cK0qlXM7~  
pmE}mc2 $.  
　　sin(π/2-α) = cosα boYvg+ X~B  
/ 4Y@Q(  
　　cos(π/2-α) = sinα VZknkS M a  
Rk"&   
　　sin(π/2+α) = cosα GYG43U&@  
%NYV7T9?  
　　cos(π/2+α) = -sinα MB>}Z <!  
%+u6e!"t  
　　sin(π-α) = sinα 'H} ,$h  
/pJik##+5T  
　　cos(π-α) = -cosα 8V=Cqef`  
KP3$U{I_A8  
　　sin(π+α) = -sinα ^F)Xq7-E#T  
 hEmK3(  
　　cos(π+α) = -cosα zS]]DC/  
9[EF6k }  
　　tanA= sinA/cosA OP5*DI8.  
H_E OTgv  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα = (i5N`ZD  
)bS<#c #t  
　　tan（π/2－α）＝cotα ( /K@'  
ST2hd? l]  
　　tan（π－α）＝－tanα 4ea1Rln  
Ov?YOZ~ .  
　　tan（π＋α）＝tanα oVL]P[  
2>6)}'hI9  
万能公式 wWD5D_X  
7 Bn6]zn  
　　 >&]3_v!  
j&84:zS  
其它公式 # `M@ E^  
zs}&JVZ  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 *C$DNa<B  
=$8I7MRHuD  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 :Q~yhM#5@  
||b?t~  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Q7hrc/i  
E.L++1K`  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 'O>y`r!J9:  
q^l0 ve  
　　对于任意非直角三角形,总有 K{Z`?ytW  
\7k*nr@.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC vBQ~f,.v  
e-5Ic2A  
　　证: s+/;,  
Rj_+ {_  
　　A+B=π-C ygcb =G  
HyjCjow  
　　tan(A+B)=tan(π-C) g|l)8o1  
/c[<iUL++  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 1D@_"IAR  
dM-KtRqn  
　　整理可得 DVVSp0  
zyj,"O:  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ro&#4<$  
HNm3yu `J  
　　得证 h |kv`Q m  
UM=!)55X  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 x]Ek*  
8N:oNvpm,9  
其他非重点三角函数 s%mR),@!  
6%cMmq 5  
　　csc(a) = 1/sin(a) I9}z*+B  
;NTbk36  
　　sec(a) = 1/cos(a) T*?(m J  
QWU1> Y.'  
　　 (7Nm@ 1  
awthC`-b  
双曲函数 QkCxU*5{  
J 'cu:R  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ?wA'h0X5  
]xT>sc1.  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 bh& S[p  
scuEf\n  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) bn[2K^:K\  
3O:X.#mX^  
　　公式一： {cwePq)V  
!sm$%".=  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： @Z|} P/  
!w!L5Sd-Q  
　　sin（2kπ＋α）= sinα -Mr?9VgM@  
wq5U>No  
　　cos（2kπ＋α）= cosα XBz|pAo1  
c_wz S  
　　tan（kπ＋α）= tanα Gzd?>IU  
!sM9G/W3  
　　cot（kπ＋α）= cotα b 2;#A  
}hO\q+  
　　公式二： DcTHD/5j  
ms]x]l6  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 8G3?-s:  
ydeEuz^  
　　sin（π＋α）= -sinα p_{Cq.D#  
"|QK(U_{  
　　cos（π＋α）= -cosα 7V |jY=  
d|_?R~Q'  
　　tan（π＋α）= tanα #m1I`C  
ODgPK4  
　　cot（π＋α）= cotα aSjsF=7F  
IG{:|h.:x  
　　公式三： N=,C_q(  
+Ax,aFy  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 1-=# //p  
Wd/U-Qth  
　　sin（-α）= -sinα m;$dl|0z  
R>o|~kz_3  
　　cos（-α）= cosα f1&UrZOB  
zD]5>tE  
　　tan（-α）= -tanα _ R2mD3|V  
Tjh%EyU  
　　cot（-α）= -cotα  &"am1tO|  
+>IMhZz  
　　公式四： ?AdU|af  
$[vIl-  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： l0( -L  
>~IP7z `m  
　　sin（π-α）= sinα "HR-I!WT  
lz/   
　　cos（π-α）= -cosα E>Cx~=n-/j  
|O9;KpIDtb  
　　tan（π-α）= -tanα ]1yFU$Ho  
O3cw5b Sf  
　　cot（π-α）= -cotα AG4-xeF}  
n9Qj;Ni"  
　　公式五： Q#]|tDLT  
#(v8[|1Q  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： F1gI9u_M8  
<pFG Z  
　　sin（2π-α）= -sinα 9ZVqJjKuU  
[[-Vr5>  
　　cos（2π-α）= cosα * v4_ =D  
^V T`1v:E~  
　　tan（2π-α）= -tanα e =tADX  
RD.EblI1>$  
　　cot（2π-α）= -cotα 2$u@[wj8F  
wqLE`"%  
　　公式六： -8FEKY6J|  
i7o?P,L  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： z)KJ_  
6! -z$aT  
　　sin（π/2+α）= cosα ir|xH`_6  
?*Q|._Z c  
　　cos（π/2+α）= -sinα Wlxw=Tl  
]q[LYvl  
　　tan（π/2+α）= -cotα >P3[WsITQ  
`>ghI3ok?  
　　cot（π/2+α）= -tanα ]VVG|b'  
q* wMNg}M  
　　sin（π/2-α）= cosα )L>(y7^Yx)  
AB0"&3T  
　　cos（π/2-α）= sinα BC\&[I1  
8y\u0;Q?Q)  
　　tan（π/2-α）= cotα +pPEk(^o  
V)BP#GW{^g  
　　cot（π/2-α）= tanα 3N) ULWI  
;7=VgQ!5  
　　sin（3π/2+α）= -cosα )PMn mU  
u;{-Ht  
　　cos（3π/2+α）= sinα mjTq3x  
Sr Kn  
　　tan（3π/2+α）= -cotα @!t,hI%>&  
q<h A&  
　　cot（3π/2+α）= -tanα D $7%>PZ  
LV%dA{  
　　sin（3π/2-α）= -cosα w?!sEoo=s  
d2:GV3+]  
　　cos（3π/2-α）= -sinα YC6p"l )q  
Pg/YbYWxL  
　　tan（3π/2-α）= cotα w/f!i  
*t0w}  
　　cot（3π/2-α）= tanα tdt/=  
HvA/Lx2  
　　(以上k∈Z) a+n5U\ b  
Jloj-$n  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Zd Q$Wg  
xR7 \T  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = >@m%&xwk{  
wcbe/`W C\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } N|K,QJ5]"  
NK?S/U0z  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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