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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 DfB,\  
{Sja-y1!\  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. .8q1MJaL  
~4+n)c  
　　1、三角函数本质： c>=~ ned  
~U/NV#DVS  
　　三角函数的本质来源于定义 `/v]yWB  
zlIZl|  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 >aOdy>rC  
+iwX(_J  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 PG{+\#lbq  
J`1 t5J:[  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： N I{.Q$  
mr =w o`  
　　推导：  a@lW&S  
>{I/u  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 e+9Q~(.~  
f9ZQy*s"  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) vf^g Kd>  
Qz@xGs$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) bONja =  
gnM ch   
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 xrTdz4?[O  
"w_u0vF  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 0lp}sTA}  
7h`C[  
　　[1] A&o76A!'T[  
 uW8 `Y  
　　两角和公式 b }Q|PUp  
To~)&Ft  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 5CpN K9!;  
"$?1aq,  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  6ATmgU+  
+fGj.^J4"  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB //+)C{l  
8}[:~@mi  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB n(`0*8?  
Bu]TNy7  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ObeUFU>DS  
i--fY R  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) }>alO9N9  
H)9jL#YAfm  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  IY|q95una  
{~OVH,N^M  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) .r!?a4hH  
e,oD5A >  
倍角公式 8Mda{}c  
^HcvOV,R  
　　Sin2A=2SinA•CosA ]C3>(R y  
o^ PkI  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 \>3/i  
gFyZ*hTg  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） @*o()`  
}UXSPP  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Cc46GjfG&  
J$Clrx{  
三倍角公式 J% s3`@'  
Od; ]}8e  
　　 ]A(/Ei'  
ss'=j6A  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) L$Wx.)U>[  
M$!:uqD| r  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jbP+2o[  
-/f4sLeT  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) O\NnHD  
QX9:Ttd)[  
三倍角公式推导 i'u|WcoIX  
>v1;0  
　　sin3a 6"f~iRK%  
T:JW?91X  
　　=sin(2a+a) xfs,E%  
F2xkZ, CA  
　　=sin2acosa+cos2asina k#FFiv({  
{ B'zHR |  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina pqc!SA?B  
f[#(= b  
　　=3sina-4sin³a xCzC?Eya  
VjM .3}q0H  
　　cos3a z C1F*9%J  
w9Ad FZ{  
　　=cos(2a+a) !!AoE  
2qqkfv'7  
　　=cos2acosa-sin2asina 7HZ<=s  
4d)~K'Ny  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 9;bVQYQ  
YJ{pPO2  
　　=4cos³a-3cosa 2ly>Z6>YP  
2Bop ^F~  
　　sin3a=3sina-4sin³a .m<1AKMq:  
,v >!#'  
　　=4sina(3/4-sin²a) K,w2+-KY  
wzwz jsM  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] G|RcFZM  
f2OgA= @v  
　　=4sina(sin²60°-sin²a)  Z+-3  
F? '48Dlw  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) /5n}mgM`%w  
$%+b{/m  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;$ +|  
1 ^R3@W9  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) q%cus@  
$@K }K}  
　　cos3a=4cos³a-3cosa m 1uS?yP  
*OMkYmr  
　　=4cosa(cos²a-3/4) d[)Vw>Zw^  
NwlAVd@/  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] cO[s((h/  
O12  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) P,{ :1%3y  
,bLHv7  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) s3]0#dn  
sNyY J}8  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} {H 89?b  
n(Z%3Qk#  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4P1hIo[  
JfM8~aNQ  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =_<RHVu6  
LycaDWM  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] +6m&n|#^~  
!= Q=)Xz4  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |@I7KE  
YcH>&1HBK  
　　上述两式相比可得 Po!}r8  
Y#j~$c ^  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) X=MpM&  
g]]s  
半角公式 9pHLcpT@  
|~3KcN B  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); waTRQi"9  
9 'b3T)<  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *e&|CPlh  
|-2.`05/r  
和差化积 Oj/4va%'  
wpHYC8w  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8UjA,w  
OdP}#6  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9>3Vv00NR{  
T7{-Kd"[m  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] c4scY9jK  
C(eYt.ph)*  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <qq'C]s  
R#s4(xF  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) .O::rXc  
StI xwJe@  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) [BYj=Y*U  
uMp00  
积化和差 a* qdb6  
i0vlG~$  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] +V0K4 iT  
;[3YcO  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9lD}a&R  
2U3K7FR  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] PV^X%znN  
Q[75]:T\  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] yz&FLBpK  
2c"39_Wo  
诱导公式 8n73|~O,{  
wi cn{  
　　sin(-α) = -sinα mW_+t=oo  
!+Ym 8no  
　　cos(-α) = cosα s[KW)  
16(" d   
　　sin(π/2-α) = cosα yj>0bo3j  
| Iv!QBd  
　　cos(π/2-α) = sinα NQg9S%M  
pcj s'.{  
　　sin(π/2+α) = cosα EC^PRc#  
G#{IH+XR  
　　cos(π/2+α) = -sinα  &^k^  
Ub3^a5"sB  
　　sin(π-α) = sinα \-dicU'i  
ub1M@,  
　　cos(π-α) = -cosα %%K%.8mH&  
?qrfg A&  
　　sin(π+α) = -sinα >87g\V#  
#8gs,oy)  
　　cos(π+α) = -cosα {h-,tr'&  
$wsT8VAL\  
　　tanA= sinA/cosA ck@#I[R`  
#%ttSL45  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα .x)Z~){/  
IB7>0 X:  
　　tan（π/2－α）＝cotα 8TL'+(/$  
% #) #~7  
　　tan（π－α）＝－tanα gs.~+ h  
1FY4KhLG  
　　tan（π＋α）＝tanα '/#<&?f  
vGu4VmNv  
万能公式 $T&`|5y}  
g.=P 9F<z  
　　 8P3"54  
Zi;6} 6  
其它公式 M F#|Tw+  
FkVLlLn*  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 mP&-?nN~.g  
0 PP7)Sm  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 y L}"q  
R[++'i_D  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 AAYH^edB]  
u iQ(U`M|  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 -}4OVHz  
ZM*Q ~  
　　对于任意非直角三角形,总有 G{13o!{  
udc8#oE&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b @x5/ kds  
OXbVIc  
　　证: ~(~_]Jy  
?$y*63=  
　　A+B=π-C 7{09m2  
Ba3j{(G  
　　tan(A+B)=tan(π-C) G`LfsSL  
K/ pS2 _ i  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) :RXB0[mTz  
 _ms8/8d  
　　整理可得 }3eg{'_k[  
n( |Tu  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC s{1kC6P  
 7yB   
　　得证 eVQO3~.9  
f)lsD$  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 &Jr|p',  
0rs#&yZM  
其他非重点三角函数 DOt??aH[  
M"(=S76x  
　　csc(a) = 1/sin(a) 8|_Fx!d  
^~\J,`<;  
　　sec(a) = 1/cos(a) oeG5\ R2'  
aU(EkR;gC  
　　 H:#hzVPw  
KwL% B ;.  
双曲函数 "Q ;F@,`  
)kl#'+;n  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ] i*5*HXo8  
01}D_:US  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ?nsmW[  
,`$ L }xU  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) u\Ez=:3i  
:,@\GH)8  
　　公式一： 4CPG$fn4  
gs0:_]:  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： CyR/4b&.  
{s`(z5  
　　sin（2kπ＋α）= sinα %0O#ro1  
/Tef^1v  
　　cos（2kπ＋α）= cosα bzO}%J@n?  
|(F| qCx  
　　tan（kπ＋α）= tanα 597-]q  
5l1%52U  
　　cot（kπ＋α）= cotα I=)!rSI2  
K>ojh#,  
　　公式二： mbDm:/ree  
Y|.?b z\H  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： !Ol__  
D_;I|!sq  
　　sin（π＋α）= -sinα e-&Vf/FP_5  
B69{3YT  
　　cos（π＋α）= -cosα zgJ/ bqV  
ix?UiQ ?  
　　tan（π＋α）= tanα g+ +53OM  
l/_IKP!dE  
　　cot（π＋α）= cotα %qJ8*K  
U2 $ozI9  
　　公式三： q(E=/&`i   
<Z#<Va9"_  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 6mMr4t gNt  
8O8AN-3{  
　　sin（-α）= -sinα .U'=%| =  
s$vJ~e  
　　cos（-α）= cosα HqArsu"B  
h t}zCS  
　　tan（-α）= -tanα "+{+UT   
X rdEu  
　　cot（-α）= -cotα J%>PmM&C`  
W5h<]z9  
　　公式四： FR2qot  
UR*=6qKE  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 0Z]G'n  
UJN`_ &  
　　sin（π-α）= sinα FbOk&w^T  
2AjTj'(.  
　　cos（π-α）= -cosα 6c@,3-  
Kj`K{CZEI  
　　tan（π-α）= -tanα Nk|bIh  
bv;u1h+P  
　　cot（π-α）= -cotα b%NRN6mZK  
j)d -k{X  
　　公式五： &$qjB!  
-I6jtly;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ?W,RH}j7  
0jB%fE%o2'  
　　sin（2π-α）= -sinα JBbjE  
jIK5 62,  
　　cos（2π-α）= cosα -uW/ex,;H  
D7Rxx^W  
　　tan（2π-α）= -tanα Vnz,WF8(  
F"s RNqWc  
　　cot（2π-α）= -cotα RCc,*|  
$ZmsM:v  
　　公式六： 3u5NSA?  
ryO9$&c2L  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 8Tok&?(l  
T3J`-  
　　sin（π/2+α）= cosα 96.L,, n  
On%|6z  
　　cos（π/2+α）= -sinα Lr(">`Wu  
\K }3{g  
　　tan（π/2+α）= -cotα ]c1 V]!  
Xk):  
　　cot（π/2+α）= -tanα $uQAn5h  
o V&2  
　　sin（π/2-α）= cosα ITDg -D.  
.F4}8 $0  
　　cos（π/2-α）= sinα c}Kp=   
Lvf5^K[  
　　tan（π/2-α）= cotα Zj,v,)U}  
{^SvAGAQ  
　　cot（π/2-α）= tanα 7+oCt e^@  
*6 8O$<7ly  
　　sin（3π/2+α）= -cosα y}fR  
$]s,BlUM?^  
　　cos（3π/2+α）= sinα ( rK a2*  
GG^&}!e*  
　　tan（3π/2+α）= -cotα X:Pq3EPL  
{d/`%~  
　　cot（3π/2+α）= -tanα YHkjK$-n  
fh8ZV 52H  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 8_U7,wv  
< @Jv[Z=  
　　cos（3π/2-α）= -sinα &"S96t _'`  
&LF.D-6  
　　tan（3π/2-α）= cotα 21wlvefU1O  
C/=(Pp  
　　cot（3π/2-α）= tanα P0&j4ZB  
) O>BsGV   
　　(以上k∈Z) B&B,+0oL  
41"]9U W+  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ;VWnL:1}  
W 4 >DWB  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Ye.$* ^[  
2`=]F9 t  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 6e-C:af+1  
q4Fxk UG  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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