日历

2025 - 3
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031     
«月» 2025 - 3 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 +MB `CVD  
&_Tkx*=3  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. (HMmK8L h  
tf|x ^;  
　　1、三角函数本质： @P9 XD'  
zH:: 0 H  
　　三角函数的本质来源于定义 KYE4k%XJP  
CqHOdwrJ!;  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 -dvxL>{  
$v+8T3   
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 qB ! ^  
[6_ *r  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 5MDhB?3B>  
'ezLs:  
　　推导： ccZ=&3 J  
6 T*C  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 G@=qx]dX  
Kr}cAQJ  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) j^jsE>x  
RGm(-`xM?  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) !!pu5M  
dhD&F*!U  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 I "xIrW2  
J*rDqp,S  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） /1%`]c m3  
?6 4-6g J  
　　[1] /DD{X7C>  
S)bjia 4  
　　两角和公式 fFb7?sC=  
Nb5^ O 5r  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB --&gv*  
'0>XV#  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Xsi[mJh  
g$ubFSlZI  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB hNTokoP'  
S,"rs8=IW  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB <# qNMi?F  
sP]$=B  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 5< bQ.b)  
MSr*_?QP  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ]wzdkA  
pU*FTlK  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  /40W}~]@  
\bc>N|?(  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) F5Wx!Gg  
C`szg'Y  
倍角公式 ,hU%<<Y2  
bzA 0KG  
　　Sin2A=2SinA•CosA 4K%92A}{  
lGJ JB  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 jnmpo02?B\  
'v\]b747g  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Sr,{#kb.E  
xFuY"Y1{  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） @* n@b gd  
tq#?k6e  
三倍角公式 "r'i spvM)  
8:|y}}L/_  
　　 OdvU0   
 ;}rA4r  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) z hhIx  
d~OTCNX  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) vJ+Ekh8|  
+fBCz/W]  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) s&jL /]n`  
FD^=lqS  
三倍角公式推导 >ee:#CTVY  
>8 qx#zTf  
　　sin3a td`L /P  
4*()@s0f  
　　=sin(2a+a) oE&8iBD*y  
qBeVP F3q  
　　=sin2acosa+cos2asina 8X/b1#.O  
r7 ^2,[  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Dloy)x  
NW?R}p  
　　=3sina-4sin³a ~5Cl}*  
!;p- q  
　　cos3a Cp 91yKwY  
XE ."Rw  
　　=cos(2a+a) "0X}h2X4w  
dQPQIe,F  
　　=cos2acosa-sin2asina */ it> na  
2Jw%M8kS  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa [MDc^jt  
z"R-H*XE  
　　=4cos³a-3cosa GKc  
.X :LI-ya  
　　sin3a=3sina-4sin³a -,J^om  
N&ijxbz}  
　　=4sina(3/4-sin²a) 4yG ?@  
JE& X   
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 7WEDhb.a$  
r#.d*cL b  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) j+7Z B1[1Q  
G@g0MS[  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) e%;?  
AS|~ n8  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] R{{;f +!  
]TLA nr$  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) >O    
 TdpaC  
　　cos3a=4cos³a-3cosa iD7"#9  
8 g>E,js  
　　=4cosa(cos²a-3/4) `KS2* *=  
rs6_Ywl}T  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] EXq .Rq}  
PO;GU&Npq  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 5S1`_q@vA  
*'S]& yt  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 0d 7] _}  
YZ 7sv  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 0jE4 tM  
Y,MQqj5  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) t_F/  
+jg.M  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =p c:3B  
y]=BDk^^  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] qCe1MWOkk`  
y?ya{ K,  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |n|PW"P'1  
Lr &f~a[r  
　　上述两式相比可得 uxc_v   
s[;db+z  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) y$Kjd&I  
erIF"R%  
半角公式 yUZ t8{  
FJ z:9 `g  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); a6Vg& I  
Zz`x[;  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. XpB e  
:W*Jb*oI&  
和差化积 q(} V4>L1  
x1Xf+<#'  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8K w6LZ  
F-YHO)YlZ  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] n'}F uMb  
JC38]mFxg  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] r<;P6os5  
?CX( !+O  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6c,y?[:6q  
] ;Rc|{8  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) b`>1EcaE  
X$CNW-R/]  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) QV>ecp0,  
v]{\[  
积化和差 0u\S][  
:JdTqx)fb  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] k.xz9Dcnu  
um2K=c"|9  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] HC&&Vdit  
:XE!#]  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] C +l =>c  
[g<wR$Y<|N  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Z\SOdNL  
fhz MJ:  
诱导公式 j(]#:;EW  
TL4`` D3  
　　sin(-α) = -sinα )LUk JZ  
],v3%Ct^8  
　　cos(-α) = cosα ZfWwT :Rv  
JRa\ /L  
　　sin(π/2-α) = cosα B~c& j?L.  
ggeiMCV  
　　cos(π/2-α) = sinα #l't.=hz>  
.}!9:+2.O{  
　　sin(π/2+α) = cosα Eq~L~9v/  
W:Z]^qJ>  
　　cos(π/2+α) = -sinα A6#[.  
A?G59V/0  
　　sin(π-α) = sinα x]NP Ec8)  
gQEVuO%&:  
　　cos(π-α) = -cosα a;85t#dq  
mT<fV"  
　　sin(π+α) = -sinα ?O2v5(<  
C -Q|O.W  
　　cos(π+α) = -cosα ]O Fz  
Jc)NNZ  
　　tanA= sinA/cosA @4kAs( Ue3  
o;z#zqm (  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα :GQY%Lzd  
[x5x84Y(  
　　tan（π/2－α）＝cotα 5-q6PK*B,  
j"l> QE  
　　tan（π－α）＝－tanα m[<2/tF  
W(Qa8]@-{n  
　　tan（π＋α）＝tanα K;06.^0z  
T}pFv=;IEr  
万能公式 K]]Y?FhV  
ouqV8F}n  
　　 A8}_yT3jd  
GrzC4B  
其它公式 in{'7 zvG:  
vbKB (B  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 !WkQ4\g,  
>!b"W@V  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Q9mGQ e s  
i2o<G  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 t4;2=<PJ  
W?4Bx@2m!p  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ]eGtb"V  
gb5kw@+>z  
　　对于任意非直角三角形,总有 9w'[U  
\D=0:J  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @_cME$)AU  
jU1Gi  
　　证: KMe [5^  
X1Epc]x`  
　　A+B=π-C )9:4j  
`O7 ]vXV  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Pis \6nL(  
XP5x_%bj<,  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) d' >LJmf  
m7f r   
　　整理可得 (<1mF  
$W6H<GM>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC R{B#(" [+  
s:`cn<4M  
　　得证 (( ^'D ,  
z 3qCl~7d  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 S!l`A D[  
!@{@!UwvP  
其他非重点三角函数 _in5O(A j  
9"i#vuAN  
　　csc(a) = 1/sin(a) qFT.fD c  
pkap=MIAs  
　　sec(a) = 1/cos(a) )R3Q*G\V  
=giO0t\'  
　　 n0m^:ZE  
[I2)n.  
双曲函数 l([kG8kg  
m/<iKPJx  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Whz:dX]  
,:uJR L  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 )n5J g"6  
(8hXFO^k  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) F#}BGCOZn  
AMP!iO1[  
　　公式一： WK;}MGc  
$bWx   
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： \bi4l$x"  
`4%AY!g  
　　sin（2kπ＋α）= sinα :{3z&G $z,  
)iB'NG'a  
　　cos（2kπ＋α）= cosα a.$S`i/  
,Hi, e//'!  
　　tan（kπ＋α）= tanα ' /z|:]e  
|V^;0NP-s  
　　cot（kπ＋α）= cotα <^'#fBI  
uPr 20y  
　　公式二： S>OjU`Wl0  
) #vMKC  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  3Av7F,  
F0uxUfbj  
　　sin（π＋α）= -sinα h8j8} gh;  
zU$):TMO  
　　cos（π＋α）= -cosα k{w9 c  
,c8Wc%R[  
　　tan（π＋α）= tanα yfG pHn  
k:mzK 0+pq  
　　cot（π＋α）= cotα p   7r  
r}@w^e)di  
　　公式三： "SIFQSfA  
4rh2J)v  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： q_/T>  
XZ@Eq?lf.  
　　sin（-α）= -sinα ,/3['9l  
-PT${9 EBm  
　　cos（-α）= cosα *m`mo)9  
,M6t {q?  
　　tan（-α）= -tanα .ycZj_Lf  
Ez%8a  
　　cot（-α）= -cotα s`(&gb$2D  
mEj+&E_  
　　公式四： #OVyNGL@R  
*CT :@<IV  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： r C[|M @  
AEx[@?M)  
　　sin（π-α）= sinα uY._6u&N  
VoKvHj8F]  
　　cos（π-α）= -cosα =! nM.<j  
GyA xm=)  
　　tan（π-α）= -tanα {/)" 7Z  
>Sv[ F]r'  
　　cot（π-α）= -cotα B|W k)WU  
G "`7W V  
　　公式五： d0u|FU  
U 6X +#|0  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： rImdGn  
w4fJ;_xP  
　　sin（2π-α）= -sinα Imm:BK  
ysL={q\rq  
　　cos（2π-α）= cosα = ^7 Y^p  
 > !yE  
　　tan（2π-α）= -tanα f y@[q|aS  
s' y6W\d!  
　　cot（2π-α）= -cotα 7aq/zwnM:  
5b3: <  
　　公式六： +gp c o26  
=}9 =S`\N  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： rm:|EGvG  
z3V%`z8  
　　sin（π/2+α）= cosα =zZXF X  
<7 E4]>}  
　　cos（π/2+α）= -sinα Z;cY5p"'  
V%7V?b.B  
　　tan（π/2+α）= -cotα )^pNQe  
Cj9{mqLX"  
　　cot（π/2+α）= -tanα kxe,#Lo6  
J-?q] }W  
　　sin（π/2-α）= cosα 5/'\4 j3~  
z UZ?  
　　cos（π/2-α）= sinα kPy?s(z:  
8EWu-e?X  
　　tan（π/2-α）= cotα =O }!LU  
0dEX%  
　　cot（π/2-α）= tanα H.-N!F\:D  
3!qI3M0  
　　sin（3π/2+α）= -cosα UvwehSV  
^?|;BBV  
　　cos（3π/2+α）= sinα ] zdp;95  
vWO6 i  
　　tan（3π/2+α）= -cotα CA=&z,  
bAJ}A.f#  
　　cot（3π/2+α）= -tanα fV.}.rwb  
q^OJ)~}  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 8Rmz D8  
{}]_u=[g  
　　cos（3π/2-α）= -sinα N5 ~tz-a  
[Hj DB/]m  
　　tan（3π/2-α）= cotα x:o#9K  
WHkQb,lL  
　　cot（3π/2-α）= tanα MQ%iM`S&z|  
:s &#4  
　　(以上k∈Z) e8bOgsiYRj  
aC0q 3  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 f!*:DY  
><+c8w  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ^]<Jd>Mo}  
9 z]UUwW  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #W1%pft  
)Ku(Ud  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15810) |  收藏